Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1148
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door Sjoerd Job » 02 jan 2012, 10:55

Beste,

Ik ben op zoek naar twee 2x2-matrices over die Hermitisch zijn, met positieve (en dus ook reeele) eigenwaarden, zodat het product een (of meerdere) niet-positieve eigenwaarden heeft.

Als ik de eis `hermitisch' laat vallen, lukt het me wel om enkele te vinden, maar ik moet ze echt hermitisch hebben.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1803
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door arno » 02 jan 2012, 11:42

Stel A is een hermitische matrix, dan geldt dat . Construeer met dit gegeven 2 hermitische matrices A en B en gebruik de eigenschap .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door wnvl » 02 jan 2012, 20:40

Stel A en B hermitische matrices






Eigenwaarden A zijn
en


Eigenwaarden B zijn
en


Bereken nu het product van A en B



Eigenwaarden van AB zijn




Ongelijkheden waarvoor we een oplossing moeten vinden als we bvb de eerste eigenwaarde van AB negatief willen (de tweede eigenwaarde van AB zal dan trouwens automatisch ook negatief zijn, aangezien het product van beide eigenwaarden positief moet zijn):







Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door wnvl » 02 jan 2012, 21:03

Het stelsel van ongelijkheden kan vereenvoudigd worden tot:

a,b,e,f>0



Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door wnvl » 02 jan 2012, 21:44

Je zou nu kunnen proberen een oplossing te vinden voor






of voor




Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door wnvl » 02 jan 2012, 22:07

Na het bestuderen van deze ongelijkheden, denk ik dat er geen oplossing is.

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1148
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Bericht door Sjoerd Job » 02 jan 2012, 23:06

wnvl schreef:Na het bestuderen van deze ongelijkheden, denk ik dat er geen oplossing is.
Ik kwam ook tot dezelfde conclusie, totdat ik de vraagstelling nog eens doorlas, en merkte dat de vraag meer was:

A, B hermitisch met pos. eigenwaarden, dan
NIET
AB "hermitisch met pos. eigenwaarden"

En het is goed te doen om A en B te vinden zodat AB niet hermitisch is! Bijvoorbeeld
[ 2 1 ]
[ 1 1 ]
en
[ 1 1 ]
[ 1 1 ]
heeft product
[ 3 3 ]
[ 2 2 ]

(maar ik heb gekozen voor)
[ 4 2 ]
[ 2 1 ]
en
[ 1 1 ]
[ 1 1 ]
omdat de eerste een mooier stelsel eigenwaarden heeft.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

Plaats reactie