Beste,
Ik ben op zoek naar twee 2x2-matrices over die Hermitisch zijn, met positieve (en dus ook reeele) eigenwaarden, zodat het product een (of meerdere) niet-positieve eigenwaarden heeft.
Als ik de eis `hermitisch' laat vallen, lukt het me wel om enkele te vinden, maar ik moet ze echt hermitisch hebben.
Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
Stel A is een hermitische matrix, dan geldt dat . Construeer met dit gegeven 2 hermitische matrices A en B en gebruik de eigenschap .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
Stel A en B hermitische matrices
Eigenwaarden A zijn
en
Eigenwaarden B zijn
en
Bereken nu het product van A en B
Eigenwaarden van AB zijn
Ongelijkheden waarvoor we een oplossing moeten vinden als we bvb de eerste eigenwaarde van AB negatief willen (de tweede eigenwaarde van AB zal dan trouwens automatisch ook negatief zijn, aangezien het product van beide eigenwaarden positief moet zijn):
Eigenwaarden A zijn
en
Eigenwaarden B zijn
en
Bereken nu het product van A en B
Eigenwaarden van AB zijn
Ongelijkheden waarvoor we een oplossing moeten vinden als we bvb de eerste eigenwaarde van AB negatief willen (de tweede eigenwaarde van AB zal dan trouwens automatisch ook negatief zijn, aangezien het product van beide eigenwaarden positief moet zijn):
Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
Het stelsel van ongelijkheden kan vereenvoudigd worden tot:
a,b,e,f>0
a,b,e,f>0
Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
Je zou nu kunnen proberen een oplossing te vinden voor
of voor
of voor
Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
Na het bestuderen van deze ongelijkheden, denk ik dat er geen oplossing is.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.
Ik kwam ook tot dezelfde conclusie, totdat ik de vraagstelling nog eens doorlas, en merkte dat de vraag meer was:wnvl schreef:Na het bestuderen van deze ongelijkheden, denk ik dat er geen oplossing is.
A, B hermitisch met pos. eigenwaarden, dan
NIET
AB "hermitisch met pos. eigenwaarden"
En het is goed te doen om A en B te vinden zodat AB niet hermitisch is! Bijvoorbeeld
[ 2 1 ]
[ 1 1 ]
en
[ 1 1 ]
[ 1 1 ]
heeft product
[ 3 3 ]
[ 2 2 ]
(maar ik heb gekozen voor)
[ 4 2 ]
[ 2 1 ]
en
[ 1 1 ]
[ 1 1 ]
omdat de eerste een mooier stelsel eigenwaarden heeft.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''