Wiskundeforum

Beste,

Ik ben op zoek naar twee 2x2-matrices over $\mathbb{C}$ die Hermitisch zijn, met positieve (en dus ook reeele) eigenwaarden, zodat het product een (of meerdere) niet-positieve eigenwaarden heeft.

Als ik de eis `hermitisch' laat vallen, lukt het me wel om enkele te vinden, maar ik moet ze echt hermitisch hebben.

Stel A is een hermitische matrix, dan geldt dat $a_{ij}=\bar{a_{ji}}$ . Construeer met dit gegeven 2 hermitische matrices A en B en gebruik de eigenschap $\bar{(AB)}^t=\bar{B}^t\bar{A}^t$ .

Stel A en B hermitische matrices

$A=\begin{bmatrix} a & c+id\\ c-id & b \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} e & g+ih\\ g-ih & f \end{bmatrix}$

Eigenwaarden A zijn
$\frac{1}{2} \left(a+b-\sqrt{a^2-2 a b+b^2+4 c^2+4 d^2}\right)$ en
$\frac{1}{2} \left(a+b+\sqrt{a^2-2 a b+b^2+4 c^2+4 d^2}\right)$

Eigenwaarden B zijn
$\frac{1}{2} \left(e+f-\sqrt{e^2-2 e f+f^2+4 g^2+4 h^2}\right)$ en
$\frac{1}{2} \left(e+f+\sqrt{e^2-2 e f+f^2+4 g^2+4 h^2}\right)$

Bereken nu het product van A en B

$AB=\begin{bmatrix} a e + (c + id) (g - ih) & (c + id) f + a (g + ih)\\ (c - id) e + b (g - ih) & b f + (c - id) (g + ih) \end{bmatrix}$

Eigenwaarden van AB zijn

$\frac{1}{2} \left(a e+b f+2 c g+2 d h-\sqrt{(-a e-b f-2 c g-2 d h)^2-4 \left(a b e f-c^2 e f-d^2 e f-a b g^2+c^2 g^2+d^2 g^2-a b h^2+c^2 h^2+d^2 h^2\right)}\right)$
$\frac{1}{2} \left(a e+b f+2 c g+2 d h+\sqrt{(-a e-b f-2 c g-2 d h)^2-4 \left(a b e f-c^2 e f-d^2 e f-a b g^2+c^2 g^2+d^2 g^2-a b h^2+c^2 h^2+d^2 h^2\right)}\right)\right\}$

Ongelijkheden waarvoor we een oplossing moeten vinden als we bvb de eerste eigenwaarde van AB negatief willen (de tweede eigenwaarde van AB zal dan trouwens automatisch ook negatief zijn, aangezien het product van beide eigenwaarden positief moet zijn):

$a+b-\sqrt{a^2-2 a b+b^2+4 c^2+4 d^2}>0$
$a+b+\sqrt{a^2-2 a b+b^2+4 c^2+4 d^2}>0$
$e+f-\sqrt{e^2-2 e f+f^2+4 g^2+4 h^2}>0$
$e+f+\sqrt{e^2-2 e f+f^2+4 g^2+4 h^2}>0$

$ae+bf+2 cg+2 dh-\sqrt{(-a e-b f-2 c g-2 d h)^2-4 \left(a b e f-c^2 e f-d^2 e f-a b g^2+c^2 g^2+d^2 g^2-a b h^2+c^2 h^2+d^2 h^2\right)}<0$

Het stelsel van ongelijkheden kan vereenvoudigd worden tot:

a,b,e,f>0
$c^2+d^2<ab$
$g^2+h^2<ef$
$ae+bf+2 cg+2 dh-\sqrt{(-a e-b f-2 c g-2 d h)^2-4 \left(a b e f-c^2 e f-d^2 e f-a b g^2+c^2 g^2+d^2 g^2-a b h^2+c^2 h^2+d^2 h^2\right)}<0$

Je zou nu kunnen proberen een oplossing te vinden voor

$a,b,e,f>0$
$c^2+d^2<ab$
$g^2+h^2<ef$
$ae+bf+2 cg+2 dh<0$

of voor
$a,b,e,f>0$
$c^2+d^2<ab$
$g^2+h^2<ef$
$a b e f+c^2 g^2+d^2 g^2+c^2 h^2+d^2 h^2<d^2 e f+a b g^2+a b h^2+c^2 e f$

Na het bestuderen van deze ongelijkheden, denk ik dat er geen oplossing is.

wnvl schreef:Na het bestuderen van deze ongelijkheden, denk ik dat er geen oplossing is.

Ik kwam ook tot dezelfde conclusie, totdat ik de vraagstelling nog eens doorlas, en merkte dat de vraag meer was:

A, B hermitisch met pos. eigenwaarden, dan
NIET
AB "hermitisch met pos. eigenwaarden"

En het is goed te doen om A en B te vinden zodat AB niet hermitisch is! Bijvoorbeeld
[ 2 1 ]
[ 1 1 ]
en
[ 1 1 ]
[ 1 1 ]
heeft product
[ 3 3 ]
[ 2 2 ]

(maar ik heb gekozen voor)
[ 4 2 ]
[ 2 1 ]
en
[ 1 1 ]
[ 1 1 ]
omdat de eerste een mooier stelsel eigenwaarden heeft.

Wiskundeforum

Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.

Re: Hermitische matrices met positieve eigenwaarden.