Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
tombot
Vast lid
Vast lid
Berichten: 47
Lid geworden op: 23 dec 2009, 23:14

Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door tombot » 15 feb 2012, 10:00

Analoog met rijbewerkingen van een matrix om een rij-equivalente (eenvoudigere) matrix te bekomen, bestaan er kolombewerkingen en de kolom-echelonvorm van een matrix.

Bij rijbewerkingen zie ik het nut er van in; je kan op die manier een oplossing van het stelsel vinden. Maar ik begrijp het nut en/of de toepassing niet goed van kolombewerkingen. Want twee matrices die kolom-equivalent zijn, hebben toch niet meer de zelfde oplossing? Of begrijp ik het verkeerd. :(

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door barto » 15 feb 2012, 12:49

Stel dat je een stelsel hebt in x, y en z.
Als je de rijcanonieke matrix wil verkrijgen kun je elementaire rijoperaties toepassen.
Op het einde lees je dan rechts de waarde voor x, daaronder die van y en daaronder die van z.

Maar soms kan het handig zijn (bv. bij de spilmethode) om twee kolommen te wisselen, bijvoorbeeld de kolommen van x en y.
Dan zal je op het einde eerst de waarde voor y aflezen, dan die voor x en dan die van z.
Je wisselt dus twee kolommen, dus ook twee variabelen.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

tombot
Vast lid
Vast lid
Berichten: 47
Lid geworden op: 23 dec 2009, 23:14

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door tombot » 15 feb 2012, 21:04

Je reactie geeft me zeker een andere kijk (een nieuw inzicht) op het gegeven, en het maakt het deels (voor mij) verklaarbaar. :)

Maar je geeft enkel een voorbeeld van de rijoperatie waarbij je een i-de kolom wisselt met een j-de kolom, terwijl er nog andere elementaire rijoperaties zijn (bij rijen althans), nl. het vermenigvuldigen van een rij met een scalar en het optellen van een (veelvoud) van de j-de rij bij de i-de rij.

Als je bijvoorbeeld een kolom vermenigvuldigt met een scalar, dan is de kolomequivalente matrix toch niet evenwaardig met de gegeven matrix (voor de bewerking)? Betekent dit dat je niet dezelfde operaties kan toepassen op kolommen als bij rijen, of zie ik het verkeerd?

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door barto » 16 feb 2012, 18:18

Een kolom vermenigvuldigen met een bepaald getal, zeg k, heeft tot gevolg dat je de waarde voor een bepaalde variabele deelt door k.
In de uiteindelijke oplossing dien je dan de bekomen waarde te vermenigvuldigen met k.
Ik heb dit allemaal zelf bedacht, maar het moet zeker kloppen. Misschien kan iemand met meer ervaring aanvullen?
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

tombot
Vast lid
Vast lid
Berichten: 47
Lid geworden op: 23 dec 2009, 23:14

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door tombot » 16 feb 2012, 19:14

barto schreef:Een kolom vermenigvuldigen met een bepaald getal, zeg k, heeft tot gevolg dat je de waarde voor een bepaalde variabele deelt door k.
In de uiteindelijke oplossing dien je dan de bekomen waarde te vermenigvuldigen met k.
Uiteindelijk zijn delen en vermenigvuldigen redelijk analoge bewerkingen. Stel je wilt een kolom 'delen' door 2 (elementsgewijs). Dit is equivalent met het vermenigvuldigen van die kolom met 1/2. En vice versa.

Wat ik daarmee wil zeggen is dat ik (zoals ik je uitleg heb verstaan) het juister/algemener zou vinden mocht je gewoon zeggen "vermenigvuldiging met een scalar k en nadat je de kolomequivalente matrix hebt gevonden, opnieuw vermenigvuldigen met het omgekeerde van scalar k". Dat komt dan neer op een nuloperatie.
En het is dat wat ik heb verstaan uit je uitleg tot nu toe; dat je een kolombewerking uitvoert om een oplossing te bekomen, maar omdat die kolombewerking de oplossingsverzameling wijzigt, moet je eerst de voorgaande kolombewerking ongedaan maken door een identieke omgekeerde kolombewerking uit te voeren.

Maar dat is zoals ik het begrijp, misschien zit ik daar al fout. :P

Dus om het lang kort te houden: Jij zegt dat kolombewerkingen de oplossingsverzameling wijzigen (zoals ik initieel dacht) en dus moet je alle eerder uitgevoerde kolombewerkingen op het einde, wanneer je de kolomechelonvorm hebt, terug ongedaan maken om een juiste oplossingsverzameling van het stelsel te hebben. Juist? :)

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door barto » 16 feb 2012, 23:10

Ja, daar lijkt het op. De kolombewerkingen kunnen handig zijn om de rijcanonieke matrix te bekomen, maar je moet ze op het einde ongedaan maken.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door toonijn » 17 feb 2012, 17:47

de kolom-bewerkingen zijn, volgens mij, vooral handig voor het bereken van de determinant van een grotere matrix.
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Kolombewerkingen en kolom-echelonvorm van een matrix

Bericht door toonijn » 17 feb 2012, 17:53

je kan ook de gertansponeerde matrix gebruiken van de uitgebreide matrix van een stelsel om zo de kollomcanonieke matrix te vinden en het stelsel op te lossen. Ziet er dan zo ongeveer uit:
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Plaats reactie