Galois theorie

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Galois theorie

Bericht door wnvl » 02 nov 2012, 21:57

Ik heb mij overlaatst verdiept in Galois theorie.

http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory

Mooie theorie, maar redelijk theoretisch voor mij. Op het internet vind ik eigenlijk weinig echt concrete toepassingen van de theorie voor praktische berekeningen.

Vraag die ik heb is of er bvb. numerieke methodes bestaan om nulpunten te vinden in gebaseerd op deze theorie. Als iemand andere concrete toepassingen kent van de theorie, die gemakkelijk te begrijpen zijn ben ik ook geïnteresseerd.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Galois theorie

Bericht door op=op » 06 nov 2012, 14:01

wnvl schreef: Vraag die ik heb is of er bvb. numerieke methodes bestaan om nulpunten te vinden in gebaseerd op deze theorie.
Daarover geeft de Galois theorie geen informatie.
Als iemand andere concrete toepassingen kent van de theorie, die gemakkelijk te begrijpen zijn ben ik ook geïnteresseerd.
Je kunt er de hoofdstelling van de algebra mee bewijzen.
Galois theorie duikt steeds vaker op in allerlei gebieden van de abstracte algebra. Zijn rol binnen de algebra is enigszins te vergelijken met die van de topologie, dat ook vaak als hulpmiddel wordt ingezet.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Galois theorie

Bericht door wnvl » 06 nov 2012, 18:39

Het is een vraag die geregeld terugkomt op het internet. Hier een gelijkaardige vraag van iemand op SE

http://math.stackexchange.com/questions ... athematics

De antwoorden verwijzen telkens naar andere theorieën/concepten (die ik niet beheers), die vermoedelijk nog abstracter zijn.

Je kan er de hoofdstelling van de algebra mee bewijzen, je kan bewijzen dat je met passer en lat een hoek niet in 3 kan delen, dat niet alle vijfdegraagdsveeltermen oplossingen hebben met wortels, het bewijs van de stelling van Fermat maakt er gebruik van...

Galois theorie beschrijft bepaalde structuren, is nuttig voor wiskundigen om bewijzen te maken, maar mijn conclusie is voorlopig tot iemand mij een tegenvoorbeeld geeft dat concrete toepassingen naar het alledaagse leven toe er niet zijn in tegenstelling tot bvb. integraalrekening wat je een formule levert om het volume van een bal te berekenen.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Galois theorie

Bericht door op=op » 07 nov 2012, 10:06

wnvl schreef:Het is een vraag die geregeld terugkomt op het internet. Hier een gelijkaardige vraag van iemand op SE

http://math.stackexchange.com/questions ... athematics
De Zariski topologie en Hilberts Nullstellensatz (waar naar verwezen wordt) zijn zeer interessant om kennis mee te maken. Het is het gebied van de algebraïsche meetkunde. Weliswaar een zeer abstract vakgebied, maar met interessante praktische toepassingen. Zie ook het belangrijke concept van de Gröbner basis dat vast in Mathematica is geimplementeerd. Het oplossen van stelsels vergelijkingen in meerdere variabelen is voor dimensie 0 volledig opgelost (en kan op vele manieren worden aangepakt). Zie b.v het Buchberger algoritme.
Galois theorie beschrijft bepaalde structuren, is nuttig voor wiskundigen om bewijzen te maken, maar mijn conclusie is voorlopig tot iemand mij een tegenvoorbeeld geeft dat concrete toepassingen naar het alledaagse leven toe er niet zijn in tegenstelling tot bvb. integraalrekening wat je een formule levert om het volume van een bal te berekenen.
Het wachten is dus op de nieuwe Einstein die de Galois theorie in zijn theorie gebruikt.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Galois theorie

Bericht door wnvl » 07 nov 2012, 19:03

op=op schreef: Het wachten is dus op de nieuwe Einstein die de Galois theorie in zijn theorie gebruikt.
Gezien het belang van groep theorie in theoretische natuurkunde, veronderstel ik dat er wel theorieën moeten zijn in het domein van string theorie waarin Galois theorie een plaats heeft.

Over quantum fysica over Galois velden (gewoon in de betekenis van eindige velden) is wel heel wat terug te vinden. Maar dat geeft daarom nog geen betekenis aan de Galois theorie zelf.

Het blijft volgens mij iets om dingen te beschrijven, te noteren, zonder dat het iets oplost. Eigenlijk net zoals groeptheorie volgens mij. Je beschrijft daar structuren mee (bvb. een Rubik kubus of structuren in quantum fysica), maar op zich leidt het niet tot een oplossing. Notatie is natuurlijk al veel in wiskunde.

Wat je kan doen met Zariski topologie, ... ga ik nog bekijken.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Galois theorie

Bericht door wnvl » 08 nov 2012, 00:06

op=op schreef:Zie ook het belangrijke concept van de Gröbner basis dat vast in Mathematica is geimplementeerd. Het oplossen van stelsels vergelijkingen in meerdere variabelen is voor dimensie 0 volledig opgelost (en kan op vele manieren worden aangepakt). Zie b.v het Buchberger algoritme.
Ik kende het niet. Maar dit is inderdaad een mooie theorie met vele voor de hand liggende toepassingen. Vreemd overigens dat dit algoritme pas dateert van 1965. Het lijkt mij nu echt niet zo complex om dit te ontdekken.

Plaats reactie