Bijectiviteit van verzamelingen

Bericht door **barto** » 09 nov 2012, 17:03

Definieer $V_0=\mathbb N$ en $V_{n+1}=\left\{A\subset V_n|\overline A\in\mathbb N\right\}$ voor alle $n\in\mathbb N$ .
Het is niet zo moeilijk te zien dat de verzameling $V_1=\left\{A\subset\mathbb N|\overline A\in\mathbb N\right\}$ bijectief is met $\mathbb N$ door de binaire representatie van natuurlijke getallen te beschouwen en $0$ en $\emptyset$ te linken. Zo worden $\{n_1,n_2,...,n_m\}$ en $2^{n_1}+2^{n_2}+...+2^{n_m}$ aan elkaar gekoppeld.

Kunnen we nu hetzelfde zeggen over $V_2$ , dus dat die bijectief is met $\mathbb N$ ?
Ik weet niet hoe er aan te beginnen. Als iemand een idee heeft, liefst niet met ingewikkelde theorieën want ik probeer dit te begrijpen

.

(Nee, dit is geen opdracht voor school

en ik wist niet goed of ik het nu bij Abstracte algebra of bij hoger onderwijs moest plaatsen, maar ja...)

Bericht door **wnvl** » 09 nov 2012, 17:53

Het antwoord is nee. Dit wordt bewezen in de stelling van Cantor.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Cantor

Bericht door **wnvl** » 09 nov 2012, 17:55

Volgens Cantor bestaat er ook geen bijectie van $V_1$ naar $\mathbb{N}$ .

Bericht door **arno** » 09 nov 2012, 17:57

Opmerking: verzamelingen zijn niet bijectief, afbeeldingen tusen verzamelingen wel.

Bericht door **op=op** » 09 nov 2012, 22:18

barto schreef:Definieer $V_{n+1}=\left\{A\subset V_n|\overline A\in\mathbb N\right\}$

Wat staat hier nou voor onzin???

Bericht door **barto** » 11 nov 2012, 11:06

op=op schreef:
barto schreef:Definieer $V_{n+1}=\left\{A\subset V_n|\overline A\in\mathbb N\right\}$
Wat staat hier nou voor onzin???

De verzameling V(n+1) is de verzameling van alle eindige deelverzamelingen van de verzameling V(n).

Bericht door **op=op** » 11 nov 2012, 13:24

Met $\overline A$ bedoel je dus het aantal elementen van A.
Dat wordt aangegeven met $|A|$ of met # $A$ .

Stel $A$ is een aftelbaar oneindige verzameling.
Definieer $V=\left\{X\subset A|\,\,\,|X|\in\mathbb N\right\}$

$V = \cup_{n\in\mathbb{N}}\left\{X\subset A |\,\,\,|X|=n\right\}$
$\left\{X\subset A |\,\,\,|X|=n\right\}$ is aftelbaar.
Dan is ook V aftelbaar als aftelbare vereniging van aftelbare verzamelingen.

Bericht door **wnvl** » 11 nov 2012, 15:11

Niet akkoord, of is er een verschil tussen de definitie van V van @op=op en @barto en anderszijds de klassieke definitie voor $\mathcal P (\mathbb{N})$ ?

http://math.stackexchange.com/questions ... -countable

Bericht door **op=op** » 11 nov 2012, 18:40

wnvl schreef:is er een verschil tussen de definitie van V van @op=op en @barto en anderszijds de klassieke definitie voor $\mathcal P (\mathbb{N})$ ?

ja

Bericht door **wnvl** » 11 nov 2012, 20:13

Stel $A$ is een aftelbaar oneindige verzameling.

Dan bestaat er een bijectie tussen A en $\mathbb{N}$ .

Definieer $V=\left\{X\subset A|\,\,\,|X|\in\mathbb N\right\}$

Dan bestaat er een bijectie tussen V en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ .
$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ is niet aftelbaar.
V is bijgevolg niet aftelbaar.

Waar zit de fout in mijn redenering?

Bericht door **op=op** » 11 nov 2012, 21:42

wnvl schreef:
Definieer $V=\left\{X\subset A|\,\,\,|X|\in\mathbb N\right\}$
Dan bestaat er een bijectie tussen V en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ .

Onjuist.

Definieer $Q=\left\{X\subset A|\,\,\,|X|\not\in \mathbb N \right\}$
Dan bestaat er een bijectie tussen Q en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ .

Bericht door **wnvl** » 12 nov 2012, 00:36

Ik maak ter verduidelijking mijn bijectie concreet.

Mijn bijectie g tussen $A=\{a_i \text{ met i in }\mathbb{N}\}$ en $\mathbb{N}$ :

$g:A \to \mathcal{P}(\mathbb{N}) : g(a_i)=i$

Ik nummer dus alle elementen in A genummerd.

Een voorbeeld van A kan zijn de verzameling met alle even natuurlijke getallen. In dat geval kies ik g(0)=0, g(2)=1, g(4)=2, ...

Mijn bijectie f tussen $V$ en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ :

$f:V \to \mathcal{P}(\mathbb{N}) : f(X)=\{g(x_i)|x_i \in X \subset A\}$

Als A opnieuw overeenkomt met de even getallen, dan kan f overeenkomen met een deling door 2 van alle elementen in de deelverzameling.

g({2,8})={1,4}
g({2,6,10,24})={1,3,5,12}

Dit is een bijectie en bijgevolg is V niet aftelbaar.

Bericht door **op=op** » 12 nov 2012, 09:54

wnvl schreef: $f:V \to \mathcal{P}(\mathbb{N}) : f(X)=\{g(x_i)|x_i \in X \subset A\}$

Dit is geen bijectie daar $|X|\in\mathbb{N}$ moet zijn.

Bericht door **wnvl** » 12 nov 2012, 15:50

Grond van het probleem is dat volgens jou

$|\mathbb{N}| \notin \mathbb{N}$

en ik het tegengestelde dacht.

Bericht door **wnvl** » 12 nov 2012, 16:22

OK, je hebt gelijk.

http://math.stackexchange.com/questions ... 713#235713

Wiskundeforum

Bijectiviteit van verzamelingen

Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen

Re: Bijectiviteit van verzamelingen