Wiskundeforum

Nog zoiets:
Is de verzameling van alle bijecties aftelbaar?
Op het eerste zicht vermoed ik van niet.

Overaftelbaar.
Bewijs:
Zij een divergente alternerende reeks en .
Dan is er een permutatie op zo dat
convergeert naar .

Origineel antwoord!

opm: moet wel convergent zijn, maar niet absoluut convergent.

Kan je het even duidelijker uitleggen?
Wat bedoel je eigenlijk met " is een divergente alternerende reeks"?
Ik neem aan dat die sigma er niet de betekenis van som heeft of zoiets.

"Dan is er een permutatie op zo dat
convergeert naar ."
Ik denk dat dit dan misschien duidelijker wordt want waarom er zo'n permutatie zou bestaan is mij ook een raadsel.

Maar áls er zo een is voor een willekeurige a, dan zijn er overaftelbaar veel permutaties omdat er even veel reële getallen zijn en twee verschillende permutaties kunnen onmogelijk hetzelfde gewenste effect hebben. En permutatie staat gelijk aan bijectie van een verzameling naar zichzelf.

We veronderstellen dat
met voor alle n een convergente alternerende reeks is die niet absoluut convergeert.
Voor het verschil tussen een reeks en diens som zie onder 'partiële sommen'
en onder 'absolute convergentie' voor de eigenschappen van niet absoluut convergente reeksen.

Ok. Alleen is het mij nog niet duidelijk waarom in

In de zo gevormde oneindige som zullen alle termen van de uitgangsrij weer voorkomen, maar in een andere volgorde en de reeks zal convergeren naar t.

de reeks zal convergeren naar t. Wie zegt dat ze niet zal alterneren tussen bv. t en t-1?

barto schreef:Ok. Alleen is het mij nog niet duidelijk waarom
de reeks zal convergeren naar t. Wie zegt dat ze niet zal alterneren tussen bv. t en t-1?

Je moet andersom redeneren. Voor elk reëel getal t is er een functie zo dat
convergeert naar t.
Dus de reële getallen kun je identificeren met een deel van de verzameling bijecties .

Voor welke verzamelingen zijn en gelijkmachtig?

Voor eindige verzamelingen lijkt het mij alleen die met 2 of 4 elementen omdat . Maar wat met oneindige verzamelingen?

Ik denk dat er geen oneindige verzamelingen zullen zijn omdat er een eenvoudige bijectie bestaat tussen en . En . Dat zegt natuurlijk niet veel want en die zijn wel gelijkmachtig.