Volledige inductie

Miraculously · Bericht door **Miraculously** » 04 dec 2012, 20:07

Hallo,

Ik denk dat het om volledige inductie gaat (aangezien ik nog nooit zo'n soort vraag opgelost heb en mijn boek ervan uitgaat dat ik weet wat ik doe). Dit is de vraag die ik op moet lossen:
Toon aan dat $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}$ (met n als een natuurlijk getal) deelbaar is door 9.

Nu heb ik dit al gedaan met 1 voor n:
E(1)=1+8+27
=36
En 36 is deelbaar door 9.

En nu kom ik erachter dat ik het ook voor E(n+1) moet gaan testen? Maar hoe doe ik dat dan precies?

Alvast bedankt.

Bericht door **David** » 04 dec 2012, 20:30

Er zijn verschillende methoden voor.
Bijv. werk de haakjes weg, of met modulair rekenen.

Je weet dat het klopt voor E(1),
Bewijs dat als het klopt voor E(n), het klopt voor E(n + 1).
Je neemt dus aan dat het klopt voor E(n).
9|E(n).
Als 9|E(n + 1) - E(n), dan 9|E(n) + (E(n + 1) - E(n)) = E(n + 1).
Lukt dat?

Miraculously · Bericht door **Miraculously** » 04 dec 2012, 20:59

Klopt dit dan:

$n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}=9 \cdot E$

$(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3}$ = deelbaar door 9?

Bericht door **SafeX** » 04 dec 2012, 22:40

Miraculously schreef:Klopt dit dan:

$n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}=9 \cdot E$

$(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3}$ = deelbaar door 9?

Nu moet je gebruik maken de eerste formule, dus wat wil je als eerste term hebben ... ?
(n^3 bijtellen en dus ook ...)

Miraculously · Bericht door **Miraculously** » 05 dec 2012, 20:33

Bedoel je zo?:
$(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3}-n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3$

Bericht door **SafeX** » 05 dec 2012, 20:49

Miraculously schreef:Bedoel je zo?:
$(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3}-n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3$

Dat klopt niet ... , je wilt kunnen gebruiken:
$n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ deelbaar door 9,
dus
$(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+((n+3)^3- ...)=...$
Wat moet er dus af?

Miraculously · Bericht door **Miraculously** » 06 dec 2012, 21:05

Als ik het nou zo doe:
$n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=3n^3+9n^2+15n+9$

$\frac{3n^3+9n^2+15n+9} {9} = \frac{n^3+3n^2+5n+3}{3}$

En omdat 3n^2 en 3 sowieso deelbaar zijn door drie krijg je:
$\frac{n^3+5n}{3}$

Dus moet
${(n+1)^3+5(n+1)}$ ook deelbaar zijn door 3

$(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+8n+6$

Alleen nu zie ik niet meer wat ik moet doen..

Bericht door **SafeX** » 06 dec 2012, 21:12

Kan je m'n vraag (zie vorige post) niet beantwoorden ...? Zo nee, geef dat dan aan.

Daarna jouw poging ...

Miraculously · Bericht door **Miraculously** » 06 dec 2012, 21:22

SafeX schreef:Kan je m'n vraag (zie vorige post) niet beantwoorden ...? Zo nee, geef dat dan aan.

Daarna jouw poging ...

Ik was op school zelf al verder aan het puzzelen geweest en ik het jou vraag nog niet gezien, dus ik dacht ik post eerst even wat ik zelf al bedacht had. En ben nu aan het proberen je vraag te beantwoorden maar ik weet het antwoord inderdaad niet.

Bericht door **SafeX** » 06 dec 2012, 21:33

SafeX schreef: $(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+((n+3)^3- ...)=...$
Wat moet er dus af?

Zelfs deze (eenvoudige) vraag: wat moet er dus af?

Miraculously · Bericht door **Miraculously** » 06 dec 2012, 21:57

SafeX schreef:
SafeX schreef: $(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+((n+3)^3- ...)=...$
Wat moet er dus af?
Zelfs deze (eenvoudige) vraag: wat moet er dus af?

Sorry, maar ik zie het echt niet..
Maar voor mijn gevoel ben ik ook nog niet op dit niveau, ik ben nu bezig zelfstandig mijn wiskunde bij te spijkeren, maar mijn boek gaat van staartdelingen over op deze vraag zonder verdere uitleg.. en daarna komen weer vragen die ik wel begrijp.

Bericht door **SafeX** » 06 dec 2012, 22:08

Als je n^3 bijtelt (dat doen we toch) dan moet je dat toch ook weer aftrekken of -n^3 bijtellen?

Wiskundeforum

Volledige inductie

Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie

Re: Volledige inductie