Vegen van matrices

[vanessa]

Hallo allemaal,
Ik vroeg me af of er een handige manier is om het schoonvegen van matrices aan te pakken?
Met veel geploeter kom ik er wel uit - maar mijn uitwerkingen zijn ellenlang en het duurt ontzettend lang voor ik het antwoord vind. Doordat ik van die lange uitwerkingen heb, is de kans op fouten natuurlijk veel groter - en dat is niet handig voor als ik het tentamen maak

Een voorbeeld:


Hier heb ik in totaal 16 (soms gecombineerde) bewerkingen nodig om tot X1=7, X2=-1, X3=0 en X4=1 te komen en deze opgave heeft me bijna 40 minuten gekost. Dit soort opgaven moet sneller kunnen - maar verder dan mijn eigen omslachtige maniertjes kom ik niet.

Is voor het oplossen/schoonvegen een bepaald stappenplan dat handig is om te volgen?

Het zou natuurlijk mooi zijn als ik niet straks bij het tentamen maar aan 3 of 4 opgaven toe kom ..

Alvast bedankt voor het meedenken!

Met vriendelijke groet,
Vanessa.

[SafeX]

Ik zou hier met de eerste rij voor een 0 in de eerste kolom zorgen op de 2e, 3e en 4e rij.
Maar wat heb jij gedaan?

[kitty11]

[quote="SafeX"]Ik zou hier met de eerste rij voor een 0 in de eerste kolom zorgen op de 2e, 3e en 4e rij.

dus probeer onder de diagonaal nullen te krijgen.
Je mag rijen van elkaar aftrekken en bij elkaar optellen

[vanessa]

Hoi SafeX,

Ja, dat heb ik ook gedaan (2e + 2 x 1e, 3e - 3 x 1e en 4e + 1e).

Dan krijg je op de tweede rij alleen wel gelijk twee nullen - daarvan raakte ik in de war - hoe krijg je daar dan de tweede nul een 1. Ipv daarmee aan de slag te gaan heb ik de 4e rij aangepakt (4e + 3e).

Resultaat:


Toen heb ik de 1e en 3e rij aangepakt om daarvan de tweede kolom 'schoon' te maken (1e-4e, 3e + 3 x 4e)

Resultaat:


Tja, en toen kwam het 'hak-werk' - ik zat met die 12 en -7 in de derde kolom in mijn maag - ik kwam dan ook niet verder dan de tweede rij te vermenigvuldigen met 7 en de derde rij te vermenigvuldigen met 12. Daarna de 2e + 3e rij gedaan.

Resultaat:


Toen heb ik de tweede rij met -1/33 vermenigvuldigd om die 'glad' te krijgen en de 3e rij met -1/4 vermenigvuldigd om daar ook enigszins behapbare getallen te krijgen.
Resultaat:


En daarna de 3e rij - 3 x 2e rij zodat beide 45 naar 42 gingen en daarmee deelbaar waren door 21 zodat de derde rij 0 0 1 2 2 werd.

En tot slot een heleboel goochelen om alle 1'en en 2'en nul te krijgen (in de categorie als het niet past, dan maken we het passend) met als uiteindelijk resultaat:


en daaruit dan de conclusie dat X1 = 7, X2 = -1, X3 = 0 en X4 = 1.

Voor mijn gevoel dus een ontzettende omweg - waarschijnlijk ook door het gepruts en gehak aan het eind om alle kleine restjes weg te werken.

Hoe zou jij dit gedaan hebben?

Alvast ontzettend bedankt!

[SafeX]

Allereerst: is dit volledige opgave? Is de laatste kolom, de oplosvector?

Resultaat:

Je mag 2e en 4e rij verwisselen ...


Opm: Verwacht je werkelijk een dergelijke matrix op je tentamen te krijgen? Dat zou me verbazen ...

[vanessa]

Ja, dit is de de opgave en de laatste kolom de oplosvector.

Ik verwacht inderdaad wel dat we een aantal matrices moeten 'bewerken'/stelsel op moeten lossen op het tentamen, het is het 'makkelijke' gedeelte van de stof, en meestal zitten er daar wel een paar opgaven van in. In principe is het ook niet zo dat ik er niet uit kom, het duurt alleen zo verrekte lang en ik ben zo ontzettend omslachtig bezig - ik zie alleen niet hoe het handiger kan. En het is natuurlijk zonde om wat 'makkelijke' punten te laten liggen op het tentamen.

Wat betreft de rijen wisselen: wat is daar precies de toegevoegde waarde van? Hoe ik het nu doe: kijken wat een beetje 'mooi' uitkomt en die neem ik dan als pivot - en dan wel aan het eind letten op de positie om te bepalen of het X1, 2, 3, etc is. Kan me wel voorstellen dat het misschien tot een ander inzicht leidt als er ineens andere getallen onder elkaar staan, maar verder kom ik niet wat betreft het nut van het wisselen? Is er een goede reden voor?

Sowieso lijkt het hele 'vegen' me wel een belangrijk onderdeel (ben nog niet door alle stof heen) dus ik wil het gewoon graag onder de knie krijgen. Bovendien vind ik het ook wel leuk om te doen, een beetje puzzelen - maar het is gewoon ook het gevoel dat ik erbij heb: het moet sneller/handiger kunnen en ik zie het niet!

[SafeX]

Begrijp je dan het volgende:

Resultaat:

Geeft dit mogelijkheden ...

[vanessa]

Ahhhhhh... heb wel wat gevonden inderdaad:

Ik zie dat de 2e rn vierde rij zijn omgewisseld en dat de nieuwe 4e rij is gedeeld door 3 (moet dan die 3 geen 4 zijn, overigens?).

Dus:


Dan gebruik je de 2e rij om in de 2e kolom de 1e en 3e rij te vegen:



Bij de 3e + 2 x 4e om die "0 0 1 -1 | -1" te krijgen zodat je die kunt gebruiken om de 3e kolom te vegen, en dan nog 2 kleine stapjes tot het einde.

Veeeeel sneller.

Joost mag weten waarom ik die "0 0 12 21 21" rij niet eerder heb vereenvoudigd, dat scheelt enorm veel tijd aan rekenwerk.

Hmm... misschien mezelf afvragen of ik niet ergens ben vergeten te vereenvoudigen dus, wanneer ik ergens weer 'grote' getallen tegen kom.

Moet ook zeggen dat het vandaag al veel beter gaat dan gisteren. Kom er wel, duurt alleen even.

Heb je verder nog tips?

En dan wil ik even van de gelegenheid gebruik maken dat ik je een held vind! Ik vind het knap dat je met een kleine suggestie en een kleine vraag mensen (of mij dan.. ) tot inzichten kunt laten komen.

[SafeX]

Prima, maar nogmaals vind ik dit geen geschikte opgave voor een tentamen.

En dan wil ik even van de gelegenheid gebruik maken dat ik je een held vind! Ik vind het knap dat je met een kleine suggestie en een kleine vraag mensen (of mij dan.. ) tot inzichten kunt laten komen.

Ik ben blij dat je er zo over denkt. Bedankt voor je waardering!
Inderdaad geloof ik dat jij (ea) er het meeste van leert ... (je moet wel willen meedenken natuurlijk).

Heb ik nog tips?

Kijken wat er mogelijk is ... (niet direct beginnen)