Wiskundeforum

Hallo,

Ik zit met een paar eenvoudige vraagjes waar ik zelf niet onmiddellijk een juist geformuleerd antwoord op kan geven.
Wat is de eenvoudige verklaring voor het feit dat een vierkant stelsel waarvan de determinant 0 is, strijdig is of oneindig veel oplossingen heeft? En waarom heeft een vierkant stelsel waarvan de determinant niet 0 is, steeds een unieke oplossing?

Dat is niet eenvoudig direct te verklaren, bekijk eens het volgende stelsel:

3x-y=2
-6x+2y=-4

Bepaal de (coëfficiënten)determinant ...

Stel je vertrekt van het stelsel met de bijbehorende coëfficiëntenmatrix C0.
Je kan de Gauss-Jordan-methode toepassen om C0 te herleiden tot de zogenaamde RREF (Row Reduced Echelon Form). Die bestaat erin een rij met een reëel getal verschillend van 0 te vermenigvuldigen, twee rijen te verwisselen of een veelvoud van een rij bij een andere rij op te tellen.
Zo krijg je achtereenvolgens de matrices C1, C2, ...
tot dat uiteindelijk de matrix Cn in de RREF vorm staat. Dit betekent dat enkel en alleen op de hoofddiagonaal getallen verschillend van 0 staan. De determinant van de bekomen matrix Cn is dus gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.

Merk vooraleerst op dat de acties die men uitvoert tijdens de Gauss-Jordan-methode geen invloed hebben op het al-dan-niet-0-zijn van de determinanten van alle bekomen matrices C0 tot Cn. Dit betekent dat de determinant van Cn gelijk is aan 0 als en slechts als de determinant van C0 gelijk is aan 0.
Het is bovendien eenvoudig in te zien dat er een unieke oplossing bestaat als en slechts als de determinant van Cn niet 0 is.

Bijgevolg is er een unieke oplossing als en slechts als de determinant van C0 niet 0 is.

Geef eens een voorbeeld van
- een stelsel dat strijdig is
- een stelsel dat oneindig veel oplossingen heeft