Wiskundeforum

Ik kom totaal neit uit de volgende opgave

Laat (G,o) een groep zijn, met één (unity) e en |G| = p^2, voor een priemgetal p>1.
Laat zien dat G een deelgroep H c G heeft met |H| = p

Alvast bedankt!

Wat bedoel je precies met de operator o?
Bedoel je dat de groep (G,o) isomorf is met ( {0,1,...,p²-1} , + ), met + de optelling modulo p²?

In dat geval suggereer ik een getaltheoretische aanpak:
Als een getal a in H zit, dan moet x*a terug in H zitten voor elk geheel getal x. (Bedenk waarom!)
Dus...

Braam schreef: Laat (G,o) een groep zijn, met één (unity) e

e heet een eenheid(selement).
Kortom (G,o) is een multiplicatieve groep.

en |G| = p^2, voor een priemgetal p>1.

p>1? En als p<=1?

Laat zien dat G een deelgroep H c G heeft met |H| = p

Neem een niet-eenheid a.
De kleinste groep die a bevat, bevat de elementen
Als we dat rijtje stoppen zodra we in herhaling vallen, dat hebben we p of p^2 elementen.
(Dat is makkelijk aan te tonen!)
Stel we hebben p^2 verschillende elementen.
Probeer dan het rijtje .