Wiskundeforum

Hallo

Ik zit vast bij deze vraag:

http://puu.sh/3V0rL

Ik heb dan maar het product uitgeschreven:

$\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj}$

Maar verder geraak ik niet. Kan iemand een handje toesteken?

Wat is AB en ook wat is BA? Maw Noem AB=C=(c_ij) evenzo BA=D=(d_ij).

Heb ik dat niet in mijn eerste post gedaan?

Kwintendr schreef:Heb ik dat niet in mijn eerste post gedaan?

bereken c_ij en d_ij dwz druk ze uit in a_... en b_...

$c_{ij}=\sum_{\sigma =1}^{n}a_{i\sigma }b_{\sigma j}$

en

$d_{ij}=\sum_{\sigma =1}^{n}b_{i\sigma }a_{\sigma j}$

Bedoel je zo?

Precies!
Schrijf de gelijkheid uit ...

$c_{ij}=d_{ij}\Leftrightarrow \sum_{\sigma =1}^{n}a_{i\sigma }b_{\sigma j}=\sum_{\sigma =1}^{n}b_{i\sigma }a_{\sigma j}$

$\Leftrightarrow \sum_{\sigma =1}^{n}a_{i\sigma }b_{\sigma j}-\sum_{\sigma =1}^{n}b_{i\sigma }a_{\sigma j}=0$

$\Leftrightarrow \sum_{\sigma =1}^{n}a_{i\sigma }b_{\sigma j}-b_{i\sigma }a_{\sigma j}=0$

En nu zit ik vast. Het zou leuk zijn moest je nu iets voorop kunnen zetten, maar dat gaat niet.

Ga nu verder met de eis dat dit voor alle B moet gelden, wat betekent dit voor A

Mocht bovenstaande wat te abstract voor je worden:

Je zoekt een $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ zodanig dat voor alle $B \in \mathbb{F}^{n \times n}$ geldt: $AB=BA$

Dan moet dit ook gelden voor alle matrices $B_k$ (k=1 t/m n), elk gedefinieerd door:
$b_{ij} = 1 \; \text{als} \; i=j=k$
$b_{ij} = 0 \; \text{in alle overige gevallen}$

Wat volgt dan uit $AB_k = B_kA$ voor alle elementen van A die niet op de hoofddiagonaal liggen?
(kijk zo nodig eens naar een concreet voorbeeld: n=3 en k=1: wat is dan AB, wat is BA en wat geldt als beide gelijk moeten zijn ?)

Welke algemene vorm moet A dus hebben ?

Vermenigvuldig deze vorm vervolgens met matrix B, gedefinieerd door:
$b_{ij} = 1 \; \text{als} \; i=1 \vee j=1$
$b_{ij} = 0 \; \text{in alle overige gevallen}$

Wat leid je tenslotte af uit AB=BA ?

Kan je nu het bewijs van SafeX voltooien?

Bekijk het vanuit het gegeven dat AB=BA voor alle B ...

Stel je hebt de verg, voor alle x geldt:

$a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x^n=0$

Wat weet je nu van a_i voor i=1,..,n en waarom?

Wiskundeforum

Commuteren van matrices

Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices

Re: Commuteren van matrices