normen

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
Ben1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 21 aug 2013, 09:03

normen

Bericht door Ben1993 » 24 aug 2013, 10:53

Ik zit vast met een oefening over normen, dit is de opgave:

Een vectornorm is een afbeelding ||.|| van C^m (alle complexe kolomvectoren van lengte m) naar R
indien volgende drie eigenschappen gelden, waarbij x en y vectoren in C^m zijn en z een complex getal:
1. ||x|| >= 0 en ||x|| = 0 <=> x = 0
2. ||zx|| = |z| * ||x||
3. ||x+y|| <= ||x|| + ||y||

Geef een voorbeeld van een afbeelding die niet voldoet aan de derde eigenschap, maar wel aan de eerste twee.

Kan iemand mij aub helpen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: normen

Bericht door arie » 24 aug 2013, 15:44

De Euclidische norm werkt als wortel van de som van de kwadraten van de vectorelementen.
Onderzoek eens het omgekeerde: het kwadraat van de som van de wortels.

Ofwel: definieer op de afbeelding f:



Waarbij voor elk vectorelement van x geldt:





Kan je eigenschappen 1 en 2 voor f bewijzen ?

En kan je een tegenvoorbeeld vinden voor eigenschap 3 ?

Ben1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 21 aug 2013, 09:03

Re: normen

Bericht door Ben1993 » 24 aug 2013, 20:14

Dus bij voorwaarde 1:
De afbeelding zal dan idd altijd gelijk of groter dan 0 zijn vanwege het kwadraat.
en als en slechts als = 0 is de afbeelding gelijk aan 0.
Er is dus voldaan aan 1

voorwaarde2:

Ook voldaan aan 2

voorwaarde3: met bijvoorbeeld m = 2
LL =

RL =

Stel x1 = 3, x2 = 5, y1 = 8, y2 = 2 en dit zou moeten kloppen om aan de voorwaarde te voldoen:

Echter als we het invullen verkrijgen we: wat dus niet klopt!
Niet voldaan aan 3

Klopt het wat ik zeg of heb ik iets fout begrepen? :)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: normen

Bericht door arie » 25 aug 2013, 00:33

De grote lijn klopt, maar toch nog even wat puntjes op de i:

Een norm op is een reeel getal, dus voor onze functie moet gelden:



Voor een vector geldt dat de vectorelementen complexe getallen zijn.
Met andere woorden: voor alle



geldt dat alle (waarbij i = 1, 2, ..., m)

De functiewaarde f(x) heb je hierboven uitgedrukt in , een complex ipv reeel getal, dat klopt niet.

In feite heb ik je een functie f gegeven die van de vector eerst elk vectorelement afbeeldt op zijn gebruikelijke norm , en daarmee verder reken. De uiteindelijke functiewaarde is dan ook een reeel getal, zoals het hoort.
Bovendien hebben we op deze manier een eenduidige wortelfunctie.

Wellicht was het duidelijker geweest als ik geschreven had:




Dan de voorwaarden:
Ben1993 schreef:Dus bij voorwaarde 1:
De afbeelding zal dan idd altijd gelijk of groter dan 0 zijn vanwege het kwadraat.
en als en slechts als = 0 is de afbeelding gelijk aan 0.
Er is dus voldaan aan 1
Hier moeten dus alle nul zijn, en daarmee dus ook alle en dus (de nulvector)

Ben1993 schreef:voorwaarde2:

Ook voldaan aan 2

Schrijf

dan is voor elke k = 1, 2, ..., m:


Gebruik dus in je afleiding.

Noot: je eindigt met |z| ||x|| maar dit moet zijn |z| f(x)
f is immers geen norm.

Ben1993 schreef:voorwaarde3: met bijvoorbeeld m = 2
LL =

RL =

Stel x1 = 3, x2 = 5, y1 = 8, y2 = 2 en dit zou moeten kloppen om aan de voorwaarde te voldoen:

Echter als we het invullen verkrijgen we: wat dus niet klopt!
Niet voldaan aan 3
Net als hierboven: gebruik ook hier de modulusstrepen:



Nog een tip: zoek in dit soort opgaven je tegenvoorbeelden eerst in eenvoudige waarden, dat maakt het rekenwerk doorgaans veel eenvoudiger.
Kies in dit geval bv:



Je ziet dan direct dat f(x) = (1+0)^2 = 1, f(y) = (0+1)^2 = 1 en f(x+y) = (1+1)^2 = 4 en dus in dit geval:
f(x+y) > f(x) + f(y)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: normen

Bericht door op=op » 25 aug 2013, 13:44

Zou er niet een eenvoudiger voorbeeld te vinden zijn?

Voorbeeld:
||x|| is de maximum absolute waarde van de coordinaten van x.

Ben1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 21 aug 2013, 09:03

Re: normen

Bericht door Ben1993 » 25 aug 2013, 21:11

De maximale absolute waarde van de coördinaten van x, dat lijkt mij de oneindignorm te zijn..
en de oneindignorm voldoet aan alle 3 de eigenschappen. Of begrijp ik je verkeerd?

Btw @Arie, dankjewel voor je hulp en verbeteringen! ;)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: normen

Bericht door op=op » 26 aug 2013, 07:52

Ik bedoelde:
||x|| is de minimum absolute waarde groter dan 0 (indien mogelijk), van de coordinaten van x.

Plaats reactie