annuïteit

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Dick1948
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 24 mar 2020, 12:48

annuïteit

Bericht door Dick1948 » 24 mar 2020, 13:34

Hallo, ik ben nieuw hier. Ik ben/heb allesbehalve een wiskundeknobbel. Daarom roep ik jullie hulp in.
Ik heb in Excel de rente en aflossing per maand van een annuïteiten hypotheek met looptijd van 30 jaar berekend van alle 360 maanden.
Ik kan nu de rente en aflossing van bijvoorbeeld maand 1 t/m maand 60 berekenen door de bedragen op te tellen.
Maar ik zou graag een formule daarvoor willen hebben.

Voorbeeld: Bedrag = 300.000, looptijd 360 maanden, rente per maand 1%.

Hoeveel bedraagt de totale rente resp. de totale aflossing over maand x t/m maand y?
Als het kan graag enige uitleg bij de formule.

Bij voorbaat veel dank.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3382
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: annuïteit

Bericht door arie » 25 mar 2020, 00:14

Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Annu%C3%AFteit.
Op die pagina worden de formules en voorbeelden gegeven.

Kom je hiermee verder of heb je meer informatie nodig?

Dick1948
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 24 mar 2020, 12:48

Re: annuïteit

Bericht door Dick1948 » 26 mar 2020, 13:10

Ik ben nu iets verder, met de nadruk op "iets". Achtergrond van mijn verzoek is de berekening van de boeterente bij het oversluiten van hypotheken. De door de AFM voorgeschreven methode is mij bekend, maar de diverse rekentools op internet geven telkens verschillende uitkomsten.
De methode komt er op neer dat de boete wordt berekend als de contante waarde van het door de bank geleden renteverlies over de aflossing (na aftrek van het boetevrije deel) over de resterende duur (aantal maanden) van de rente-vast periode.
Ik kan dit uitrekenen met EXCEL door een aflossingsschema op te stellen, maar ik ben geïnteresseerd in de formule.

Groeten,
Dick

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3382
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: annuïteit

Bericht door arie » 27 mar 2020, 08:49

Voorbeeld:
Bedrag \(T = 300.000\)
Looptijd \(n = 360\) maanden,
Neem de maandrente 1 ‰, wat overeenkomt met een jaarrente van iets meer dan 1.2 %:
\(i = 1/1000 = 0.001\)

We berekenen eerst het vaste maandbedrag J dat we bij de annuïteiten hypotheek moeten bepalen.
De formule hiervoor staat op de wikipagina:

\(J = \frac{i\cdot (1+i)^n}{(1+i)^n-1} \cdot T\)

met onze getallen geeft dat:

\(J = \frac{0.001\cdot 1.001^{360}}{1.001^{360}-1}\cdot 300000 = 992.726082357547964...\)

Nu kunnen we in Excel de termijntabel van deze hypotheek opstellen:

Afbeelding

i, J en T=T0 zijn bekend.
De rentekosten r1 van de eerste termijn (k=1) zijn r1 = i * T0 = 0.001 * 300000 = 300
De aflossing a1 van de eerste termijn is a1 = J - r1 = 992.73 - 300 = 692.73
De restschuld T1 na de eerste termijn is dus T1 = T0 - a1 = 300000 - 692.73 = 299307.27
Als je deze formules in Excel invoert (cellen F4, G4 en E4) kan je ze copy-pasten naar de overige maanden t/m maand 360.
Als het goed is dan is T360 = 0.00.

Stel je wil de som van de rentekosten weten over de periode k=8 t/m k=16 (de geel gemarkeerde cellen van bovenstaande tabel), deze som = 2631.06 (resultaat aangegeven in groen, berekend in Excel via de sommatie van de gele cellen).

Nu wil je dit laatste getal bepalen met een formule.

Op de wiki-pagina staat het rentebedrag in periode k:

\(r_k = J - (1+i)^{k-1}\cdot (J-i\cdot T_0)\)

De sommatie van deze bedragen over de periode k=1 t/m k=q is dan:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^q r_k = \sum_{k=1}^q \left(J - (1+i)^{k-1}\cdot (J-i\cdot T_0)\right)\)

\(= q\cdot J - \displaystyle \sum_{k=1}^q \left((1+i)^{k-1}\cdot (J-i\cdot T_0) \right)\)

\(= q\cdot J - (J-i\cdot T_0) \displaystyle \sum_{k=1}^q (1+i)^{k-1}\)

\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \displaystyle \sum_{k=1}^q (1+i)^{k-1}\)

definieer m = k - 1

\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \displaystyle \sum_{m=0}^{q-1} (1+i)^m\)

gebruik een standaard sommatie-formule
(zie https://en.wikipedia.org/wiki/Summation ... _exponents):

\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \cdot \frac{(1+i)^q - 1}{(1+i)-1}\)

\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \cdot \frac{(1+i)^q - 1}{i}\)

\(= q\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^q - 1)\)

We hebben nu de sommatie van r over de periodes k = 1 t/m k = q.
De sommatie van r over de periodes k = p t/m k = q wordt hiermee:

\(\displaystyle \sum_{k=p}^q r_k = \sum_{k=1}^q r_k - \sum_{k=1}^{p-1} r_k\)

\(= \left[ q\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^q - 1) \right] - \left[ (p-1)\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^{p-1} - 1) \right]\)

ofwel:

\(\displaystyle \sum_{k=p}^q r_k = (q-p+1)\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^q - (1+i)^{p-1})\)


In ons voorbeeld levert dit:

\(\displaystyle \sum_{k=8}^{16} r_k = (16-8+1)\cdot 992.73 + \left(300000 - \frac{992.73}{0.001}\right) \cdot (1.001^{16} - 1.001^{8-1}) = 2631.06\)

zoals we hierboven met Excel ook al vonden.

Dick1948
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 24 mar 2020, 12:48

Re: annuïteit

Bericht door Dick1948 » 02 apr 2020, 16:58

Fantastisch! De formule van de som van de rentekosten klopt inderdaad en ik begrijp ook, dankzij je uitleg,hoe je die hebt bepaald. Dank daarvoor.
Nu nog een formule voor de contante waarde van deze rentebedragen.
De aflossingen vormen een meetkundige reeks heb ik gezien. Zit er ook een patroon in de rentekosten?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3382
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: annuïteit

Bericht door arie » 02 apr 2020, 20:32

We hebben gezien:

\(r_k = J - a_k\)

J is een constante,
dus \(r_k\) is
(een constante) - (diezelfde meetkundige reeks)

Bedoel je dit?

Plaats reactie