Formule voor punten boog te berekenen

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 30 jun 2020, 10:15

Hallo,
In aanvulling van mijn vorige post, zoek ik de formule om een boog te tekenen d.m.v. de berekening van de afstand van de boog t.o.v.de y-as. (In de afbeelding de afstanden van de groene naar de roze punten.)
<img src="https://i.ibb.co/zS42k1C/boog.png" alt="boog" border="0">
Bedankt.

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 30 jun 2020, 15:45

O ja, ik zie het al. Het is weer de cosinus maar nu bepaald door de richtingscoëfficiënt t.o.v. de graad op de parallel van de Y-as.

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 30 jun 2020, 17:28

Goed, het is doodgewoon de stelling van Pythagoras. :) De schuine zijde is de straal en die blijft uiteraard gelijk.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3508
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door arie » 01 jul 2020, 15:06

Afbeelding

Wat bedoel je precies (x-as weer verticaal, y-as horizontaal, net als in het vorige topic):
- alle lijnen op elke breedtegraad even ver van elkaar (blauw, \(y = \text{constante} \cdot \sqrt{R^2 - x^2} \))
- alle cirkels vermenigvuldigd met de sinus van de lengtegraad (rood, \(y = \sin(\lambda ) \cdot \sqrt{R^2 - x^2} \)
- of nog iets anders?

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 01 jul 2020, 15:54

Ik heb inderdaad het blauwe voorbeeld geconstrueerd, met gelijke afstanden.
Met behulp van de formule van de omgeschreven cirkel die je gegeven hebt in de vorige post, om de straal te berekenen:
waarbij en a= schuine zijde vanaf het poolpunt naar de lengtegraad op de evenaar.
En vervolgens heb ik de lijnstukken berekend volgens een toepassing van de stelling van Pythagoras:
waarbij R de nieuw verkregen straal is.
y is de hoogte op de Y-as, x is de zijde die ik zocht (of met de coördinaten omgedraaid zoals in de vorige post)
Het komt er op neer dat ik een andere projectie aan het bekijken ben, ik denk dat dit de projectie van Postel zou moeten zijn gecentreerd op de evenaar en beperkt tot 180 graden. In fotografische termen, een fisheye-lens...veronderstel ik.
Waarbij het me begint te dagen dat jou rode sinus-voorbeeld waarschijnlijk de correcte manier is om dit te doen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3508
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door arie » 03 jul 2020, 18:27

Er zijn meerdere manieren om de afbeelding te maken, zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fisheye_l ... g_function
Zit jouw voorkeursafbeelding hier tussen?

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 03 jul 2020, 20:36

Ik heb even wat opgezocht en het gaat om de equidistante versie.
En de bijhorende projectie is de azimutale equidistante (Postel-)projectie gepositioneerd op de equator en beperkt tot 180°.
Ik ben trouwens de publicatie van Flocon en Barre aan het lezen over hun 'curvilineair' perspectief, en zij zijn blijkbaar uitgegaan van de Postel-projectie maar zij hebben ze 'vereenvoudigd' omdat men ze zou kunnen construeren met een passer en het resultaat is dat ze cirkelbogen tekenen (i.p.v. , zoals ze zelf zeggen in het Frans: 'arcs transcendants', wat die ook mogen zijn...)'zoals je toont in de blauwe tekening hierboven, wat dan eerder blijkt neer te komen op de globulaire (Nicolosi-) projectie. Zij beweren dat de afwijkingen minimaal zijn, en ook andere bronnen op internet lijken dat te bevestigen:
http://www.quadibloc.com/maps/mcv0601.htm (afbeeldingen helemaal onderaan pagina)
En blijkbaar is uit die vereenvoudiging ook het standaard rooster voortgekomen dat men gebruikt voor 5-puntsperspectief te tekenen.
Maar ik blijf natuurlijk nieuwsgierig hoe men echt die Postel-projectie moet tekenen. :)
Er staat ook een formule op Wikipedia maar daar kan ik niet aan uit.

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 04 jul 2020, 13:46

Volgens het boek 'Géométrie mathémathique' van Henri Bouasse, p.166,
https://archive.org/details/gographiema ... 6/mode/2up
zou de formule voor de Postel-projectie als het centraal punt zich op de equator bevindt, als volgt zijn :
(breedtegraad=L, lengetegraad=l)
Voor de Z(enit-afstand): cos Z=cos (l)*cos(L)
en voor de A(zimut-afstand): tan A=sin (L) * cotan (l)
En daar staat nog van alles bij dat ik niet begrijp en hoe ik het moet tekenen nog minder. :D

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 04 jul 2020, 16:21

Oh wacht, ik denk dat ik iets snap.
Is dit toevallig de berekening van een rechthoekige driehoek op een bol?
Het sferisch equivalent van de stelling van Pythagoras?

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 07 jul 2020, 16:31

De formule voor de azimutale equivalente projectie voor de evenaar staat in dit boek:
https://pubs.usgs.gov/bul/1532/report.pdf
en luidt:
\(R=straal\)
\(\lambda=lengtegraad\)
\(\varphi=breedtegraad\)
\(x=R*k'*\cos\varphi*\sin(\lambda-\lambda_0)\)
\(y=R*k'*\sin\varphi\)
\(c=\cot(\cos\varphi*cos(\lambda-\lambda_0))\)
\(k'=\frac{c}{\sin c}\)
Ik heb eens enkele cijfers in excel ingevoerd en het lijkt te kloppen.

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 34
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: Formule voor punten boog te berekenen

Bericht door Couperus » 09 jul 2020, 16:08

In bovenstaande formule staat nog een fout: c= acos i.p.v. cot
En dit is mijn plot in Geogebra. Hoe ik de punten moet verbinden moet ik nog nagaan.
https://ibb.co/NF0MKXV
Bedankt voor alle info!

Plaats reactie