Kansberekening op een spel kaarten

[Draecko]

Hoi,

Het is alweer een jaar of 7 geleden sinds ik dit heb gehad op de middelbare school en nou heb ik met een paar vrienden een discussie over wat nou de juiste kansberekening is op het trekken van kaarten uit een spel met kaarten.

De vraag is, wat is de kans dat je een bepaalde kaart, laten we Harten Aas nemen, minimaal één keer uit het spel met kaarten trekt als je de kaarten ook weer terug stopt?

Bijvoorbeeld, wat is de kans dat je in 4 keer proberen minimaal 1 keer de Harten Aas trekt?

Naar mijn idee is de oplossing 1 minus de kans op de verkeerde kaart, tot de macht het aantal pogingen (p) (uitgaande van 52 kaarten):

1 - (51/52)^p

oftewel in 4 pogingen:

1 - (51/52)^4 = 0,075

Klopt dit, of zit ik helemaal verkeerd met mijn wiskunde?

[David]

Ja, dat is juist

[Gma-X]

Dat klopt niet. De vraag is "wat is de kans dat je in 4 keer proberen MINIMAAL 1 keer de harten aas trekt".

In het vervolg geldt:
- A staat voor Harten Aas en X voor een foute kaart
- p is de kans dat je de aas pakt
- (1-p) is de kans dat je de aas niet pakt

Dit kun je opsplitsen in 4 hoofd scenario's:

1: Van de 4 pogingen is 1 succesvol

In dit geval heb je 4 scenario's, namelijk:

AXXX, XAXX, XXAX, XXXA

De kans op 1 van deze situaties is p*(1-p)^3. En dat 4 keer, dus de kans op situatie 1 is 4*p*(1-p)^3;

2: Van de 4 pogingen zijn er 2 succesvol

In dit geval heb je 6 scenario's, namelijk:

AAXX, AXAX, AXXA, XAAX, XAXA, XXAA

De kans op 1 van deze situaties is p^2*(1-p)^2. En dat 6 keer, dus de kans op situatie 2 is 6*p^2*(1-p)^2;

3: Van de 4 pogingen zijn er 3 succesvol

In dit geval heb je 4 scenario's, namelijk:

AAAX, AAXA, AXAA, XAAA

De kans op 1 van deze situaties is P^3*(1-p). En dat 4 keer, dus de kans op situatie 3 is 4*p^3*(1-p);

4: Van de 4 pogingen zijn allemaal succesvol

In dit geval heb je maar 1 scenario, namelijk:

AAAA

De kans op deze situatie is p^4;


Als antwoord op je vraag, mits dit de vraag was die je eigenlijk stelde, de kans om in vier pogingen minimaal 1 keer een harten aas uit het deck te pakken is

4*p*(1-p)^3 + 6*p^2*(1-p)^2 + 4*p^3*(1-p) + p^4

[arie]

Draecko en jij berekenen precies hetzelfde (met p volgens jouw definitie):
Draecko: 1 - P(0 succes) = 1 - (1-p)^4
Jij: P(1 succes) + P(2 succes) + P(3 succes) + P(4 succes) = 4p(1-p)^3 + 6p^2(1-p)^2 + 4p^3(1-p) + p^4

Omdat
P(0 succes) + P(1 succes) + P(2 succes) + P(3 succes) + P(4 succes) = 1
want meer mogelijkheden zijn er niet, is
P(1 succes) + P(2 succes) + P(3 succes) + P(4 succes) = 1 - P(0 succes)

Werk zo nodig de uitdrukkingen
1 - (1-p)^4
en
4p(1-p)^3 + 6p^2(1-p)^2 + 4p^3(1-p) + p^4
allebei eens uit naar de vorm
ap^4 + bp^3 + cp^2 + dp + e

[Gma-X]

Ah uiteraard, zo had ik er niet naar gekeken, mijn excuus

[arie]

Geen probleem, integendeel, alle gedachten en redeneringen zijn hier welkom.
Blijf dus vooral doorgaan met (kritisch) nadenken.