letters sparen

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
brackepieter
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 09 mei 2014, 14:16

letters sparen

Bericht door brackepieter » 09 mei 2014, 14:22

Hallo,

Heb volgende opgave.

Men verkoopt producten aan klanten. In verpakking van elk product zit een letter. Mogelijke letters zijn IMPERIAL. Verdeling is willekeurig.
Bedoeling is dat de klant het woord Imperial kan spellen met de letters die hij bijeen gespaard heeft. Hoeveel producten moet klant aankopen (en dus letters bijeen sparen ) om woord Imperial te kunnen vormen. Of maw, na gemiddeld hoeveel producten aan te kopen zal hij de 8 verschillende letters hebben gespaard.
Let op: de I komt 2 keer voor in Imperial.

Dank voor jullie feedback.

Mvg

Pieter

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: letters sparen

Bericht door arie » 09 mei 2014, 21:09

Een recursieve oplossing:

Neem aan dat de fabrikant de letters in de verhouding van het woord IMPERIAL in de pakken gestopt heeft.
Met andere woorden: de kans op een I is ook 2 keer zo groot als de kans op 1 van de andere letters in een pak.
(anders moet je onderstaande berekening iets aanpassen).

Noem:
= het verwacht aantal pakken dat je nodig hebt voor een woord van n letters, waarvan je nog i letters nodig hebt, waaronder de 2 dubbele letters
= het verwacht aantal pakken dat je nodig hebt voor een woord van n letters, waarvan je nog i letters nodig hebt, waaronder ook nog precies 1 exemplaar van de 2 dubbele letters (je hebt nu dus al 1 van de 2 dubbele letters)
= het verwacht aantal pakken dat je nodig hebt voor een woord van n letters, waarvan je nog i letters nodig hebt, waaronder geen enkel exemplaar van de 2 dubbele letters (de 2 dubbele letters heb je al)

Dan zijn we op zoek naar (we hebben nog 8 van de 8 letters nodig, waaronder de dubbele I).

Uitgaande van bovenstaande definities krijgen we als we 1 pak open maken:



Lees:
- in 2/n van de gevallen trekken we 1 van de 2 dubbele letters I die we nog nodig hadden, we hebben dan nog (i-1) letters nodig waaronder een letter I
- in (i-2)/n van de gevallen trekken we een letter die we nog nodig hadden maar niet een I, we hebben dan nog (i-1) letters nodig waaronder de beide I's
- in (n-i)/n van de gevallen trekken we een letter die we al hadden, we hebben dan nog steeds Ndd(i,n) pakken nodig (in dat geval hebben we 1 pak open gemaakt maar zijn we nog steeds in dezelfde uitgangssituatie).

Herschrijven geeft:



waardoor voor startwaarde i = 2 (als we minder dan 2 letters nodig hebben kunnen dit nooit beide dubbele zijn):




Stel soortgelijke formules op voor



en voor



waarbij



en voor




Als je die twee formules ook hebt, dan heb je voldoende informatie om te bepalen.

Kom je hiermee verder?

Plaats reactie