Gesloten integralen

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
jer1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 03 feb 2015, 06:54

Gesloten integralen

Bericht door jer1993 » 03 feb 2015, 07:12

Hallo,

dit komst misschien wat vreemd over maar ik vind het leuk om bij het spelen van spelletjes wiskunde toe te passen om dingen te voorspellen en te plannen.
Nu kun je een upgrade kopen met als kosten het level + 1. Hiermee is natuurlijk leuk te spelen als je zegt, nu wil ik die upgrade kosten van level 30 tot level 40 weten door een gesloten integraal toe te passen.

Ik heb nu dus y = f(x) = L+1

Hiermee kwam ik op



Dit brengt mij op kosten van 360. In praktijk was dit echter 355, wat zou stellen dat de voor de haken staat i.p.v. er binnen.

Is dit een rekenfout van de maker, is dit een ander wiskundig concept of zit ik er zelf gewoon naast?

Het is misschien geen dringende zaak, maar ik kan er aardig mee blijven zitten als ik dingen niet begrijp.

Bij voorbaat dank.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Gesloten integralen

Bericht door David » 03 feb 2015, 12:40

De integraal kan je voor continue functies gebruiken. Zoals jij het hebt gekozen zou je ook van level 30.5 naar level 31.5 kunnen gaan. Dat kan niet, je kijkt alleen naar gehelen waarden van L.
We kunnen natuurlijk uitschrijven: (30 + 1) + (31 + 1) + (32 + 1) + ... + (38 + 1) + (39 + 1).
Alle termen uitschrijven is veel werk, en maakt het niet overzichtelijker, je weet toch al wat er komt.
Laten we daarom een symbool gebruiken, waarmee we zeggen wat we optellen (i + 1), waar we beginnen (30) en waar we eindigen (39), en als laatste de variabele die die waarden krijgt (i) die, net als in jouw levels, telkens met 1 wordt verhoogd. Dat is namelijk alles wat we nodig hebben.
Het symbool is de hoofdletter sigma.


Nu zetten we eronder de variabele die veranderd, i


Om te beginnen stellen we die gelijk aan de ondergrens


Daarboven zetten we waar we stoppen (39). We kunnen schrijven i = 39, maar we snappen dat we i veranderen dus schrijven we alleen 39.


En als laatst zetten we nog neer wat we optellen (i + 1). Dit komt achter de sigma.


Om zeker te weten wat we bedoelen kunnen we nog haakjes zetten om i + 1;


Kan je nagaan dat hier nu 355 moet uitkomen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Gesloten integralen

Bericht door David » 03 feb 2015, 17:47

De integraal die je kan oplossen is ook wel FWIW. Het splitsen van de integraal laat denk ik zien waarom je 360 vond in plaats van 355.
In de integraal die je af wil je denk ik integreren naar L in plaats van naar x.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

jer1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 03 feb 2015, 06:54

Re: Gesloten integralen

Bericht door jer1993 » 03 feb 2015, 18:21

David schreef:De integraal kan je voor continue functies gebruiken. Zoals jij het hebt gekozen zou je ook van level 30.5 naar level 31.5 kunnen gaan. Dat kan niet, je kijkt alleen naar gehelen waarden van L.
We kunnen natuurlijk uitschrijven: (30 + 1) + (31 + 1) + (32 + 1) + ... + (38 + 1) + (39 + 1).
Alle termen uitschrijven is veel werk, en maakt het niet overzichtelijker, je weet toch al wat er komt.
Laten we daarom een symbool gebruiken, waarmee we zeggen wat we optellen (i + 1), waar we beginnen (30) en waar we eindigen (39), en als laatste de variabele die die waarden krijgt (i) die, net als in jouw levels, telkens met 1 wordt verhoogd. Dat is namelijk alles wat we nodig hebben.
Het symbool is de hoofdletter sigma.


Nu zetten we eronder de variabele die veranderd, i


Om te beginnen stellen we die gelijk aan de ondergrens


Daarboven zetten we waar we stoppen (39). We kunnen schrijven i = 39, maar we snappen dat we i veranderen dus schrijven we alleen 39.


En als laatst zetten we nog neer wat we optellen (i + 1). Dit komt achter de sigma.


Om zeker te weten wat we bedoelen kunnen we nog haakjes zetten om i + 1;


Kan je nagaan dat hier nu 355 moet uitkomen?
Oh ok ik zie het nu ja.

Dus wanneer f(x) = L+1 waarin dan gebruik ik de Rieman som
en wanneer f(x) = L+1 waarin dan gebruik ik een integraalvergelijking.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Gesloten integralen

Bericht door David » 03 feb 2015, 19:33

Je gebruikt niet zozeer een Riemann-som, die is voor het schatten van een oppervlakte onder een grafiek. Nu wil je een aantal getallen optellen.

, niet wat je wilt. Let op naar welke variabele je integreert.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

jer1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 03 feb 2015, 06:54

Re: Gesloten integralen

Bericht door jer1993 » 03 feb 2015, 20:44

David schreef:Je gebruikt niet zozeer een Riemann-som, die is voor het schatten van een oppervlakte onder een grafiek. Nu wil je een aantal getallen optellen.

, niet wat je wilt. Let op naar welke variabele je integreert.
Ja ik bedoelde hier inderdaad integreren naar L. Maar door het somteken mag ik ze opsplitsen en krijg ik

, dit wordt 360.

de 355 die ik gevonden heb vindt ik inderdaad door de sommatie of door .

Dit laatste is voor mij nogal verwarrend omdat dit volgens mij geen correct integraal is, maar in iedere stap van L+1 wel de uitkomst geeft die ik in de praktijk vind.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Gesloten integralen

Bericht door David » 03 feb 2015, 21:35

jer1993 schreef:Maar door het somteken mag ik ze opsplitsen en krijg ik

, dit wordt 360.
Dat resultaat klopt.
jer1993 schreef:de 355 die ik gevonden heb vindt ik inderdaad door de sommatie...
Klopt ook.
...of door .

Dit laatste is voor mij nogal verwarrend omdat dit volgens mij geen correct integraal is, maar in iedere stap van L+1 wel de uitkomst geeft die ik in de praktijk vind.
Dat laatste komt omdat het de oplossing is voor deze integraal;



Kan je een grafiek maken van jouw integrand ("dat wat tussen het integraalteken en dL staat") en de integrand die ik gaf?
Wat valt je op aan de grafieken?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

jer1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 03 feb 2015, 06:54

Re: Gesloten integralen

Bericht door jer1993 » 07 feb 2015, 17:57

Ik reageer enigszins laat wegens drukte, maar de grafiek van L+1 is lineair met y=1 op x=0 (met de kosten uitgezet op de y-as en L uitgezet op de x-as).

logischerwijs zou de primitieve hiervan dus een bergparabool vormen. y = ax²+bx+c.

Bij de lineaire grafiek snap ik echter wel de logica dat de oppervlakte als een driehoek berekend kan worden: de +x blijft hier echter nog wel nodig om y=0 tot y=1 mee te nemen.

Verklaart dit dat de integraal wordt in deze situatie?

jer1993
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 03 feb 2015, 06:54

Re: Gesloten integralen

Bericht door jer1993 » 10 feb 2015, 20:53

De colleges zijn weer begonnen dus ik heb vandaag mijn wiskundedocent raad gepleegd en ik denk dat we eruit zijn.

Als ik het goed begrepen heb is er bij de functie f(x) = L+1 met een stapgrootte van 1 een Riemansom op te stellen met een bovengrens en een ondergrens.

De ondergrens loopt in dit geval van 0 tot 39 met uitkomst 355, de bovengrens loopt van 1 tot 40 met uitkomst 365.

De integraal is hiervan een gemiddelde.

Om de ondergrens te krijgen met een integraal zou de functie dus in feite bedragen, wat in dit geval toevallig uitkomst als

De half L moet er voor een ondergrens vanaf en voor een bovengrens erbij omdat voor elke stap van L de integraal een halve stap afwijkt.

Nu klinkt het weer logisch, evengoed nog bedankt voor alle hulp.


Jeremy

Plaats reactie