Wiskundeforum

Aan X personen uit een populatie bestaande uit Y personen wordt gevraagd om een waardering te geven over een bepaald onderwerp in de range van bijvoorbeeld 1 t/m 5. De gemiddelde score van de steekproef is Xgem. en die van de populatie is Ygem. Het betreft een steekproef zonder teruglegging.

Hoe groot is de kans de Ygem > Xgem?

Het lukt mij al niet om te beredeneren op hoeveel manieren je een gemiddelde van bv 3 te krijgen als zeg 15 personen een willekeurige score van 1 tot 5 geven...

Al vast bedankt!

Urchje schreef:Hoe groot is de kans de Ygem > Xgem?

Deze vraag is zonder verdere gegevens niet te beantwoorden:
dit hangt namelijk ook af van de grootte N van de populatie Y en van de verdeling van de scores.
Hier 2 wat extreme voorbeelden:

Voorbeeld 1:
Stel populatie Y bestaat uit N = 1000 personen die allemaal score 4 geven.
Dan zullen alle n personen uit de steekproef X ook allemaal score 4 hebben.
In dat geval is de kans (Xgem < Ygem) = 0

Voorbeeld 2:
Stel populatie Y bestaat uit N = 1000 personen waarvan er 999 score 4 geven en 1 score 5, dus Ygem = 4.001
Neem een steekproef van n = 15 personen, dan is de kans dat die allemaal 4 scoren (en dus Xgem = 4) gelijk aan:



In dat geval is de kans (Xgem < Ygem) = 0.985

Urchje schreef: Het lukt mij al niet om te beredeneren op hoeveel manieren je een gemiddelde van bv 3 te krijgen als zeg 15 personen een willekeurige score van 1 tot 5 geven...

Als 15 personen een gemiddelde van 3 scoren, dan moet de som van hun scores dus 45 zijn.
Het aantal mogelijkheden om deze som te bereiken (waarbij iedereen een score van 1 t/m 5 mag geven) =
de coefficient van x^45 in de veelterm (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^15.
Er zijn verschillende technieken om deze te berekenen, maar je kan ook:
(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^15
kopieren en plakken naar het invoerveld van
http://www.wolframalpha.com/
Na enter vind je vervolgens onder "Expanded form:" de coeffient van x^45:
2 198 649 549
Dat betekent dat er van de 5^15 = 30 517 578 125 mogelijke score-uitkomsten
er 2 198 649 549 zijn die bij elkaar opgeteld een score van 45 hebben.



PS:
Hoe luidt je opgave precies?
Bovenstaande vragen zijn heel duidelijk, maar wel wat ongebruikelijk.
Meestal willen we bij een bekende steekproef (met bekend gemiddelde en bekende uitkomsten verdeling) een uitspraak doen over de populatie.
Kan het zijn dat jij meer naar zoiets op zoek bent?

Beste Arie,

Bedankt voor je reactie. Het betreft hier geen opgave, maar pure nieuwsgierigheid.
Bij een tevredenheidsonderzoek onder studenten hadden slechts 3 van de 16 studenten gereageerd en die hadden vervolgens op 8 vragen met elk een 5 puntsschaal een gemiddelde score van 3,4 gegeven. Bij een gemiddelde score onder de 3,5 moet je een verbetervoorstel schrijven.
Volgens mij is dit een gevaarlijke exercitie, waarbij er een redelijke kans bestaat dat je dan juist zaken gaat wijzigen die door een meerderheid van de studenten in de populatie juist gewaardeerd worden...
Maar ik wou eerst onderzoeken of mijn vermoeden klopt en, belangrijker, als dat klopt hoe ik de verantwoordelijken kan overtuigen. Sowieso lijkt mij het gebruik van een gemiddelde hier niet handig. Beter lijkt het mij om te kijken naar de verdeling van de scores (dit nog los van de vraag of tevredenheid van studenten, waarvan 80% heeft aangegeven hoofdzakelijk extrinsiek gemotiveerd te zijn, bepalend moet zijn voor het alk dan niet aanpassen vaan je onderwijs). Maar ik dwaal af....

Nogmaals bedankt voor je antwoord!