Twee parabolen elkaar laten raken

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
JdH
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 06 sep 2015, 19:32

Twee parabolen elkaar laten raken

Bericht door JdH » 06 sep 2015, 22:00

Hallo,
Voor een project wil ik graag twee parabolen netjes op elkaar laten aansluiten. De beide parabolen moeten hiervoor elkaar dus raken en niet snijden. Ik kom er echter niet geheel uit om hiervoor een algemene oplossing voor te vinden.

Ik ga uit van een gegeven parabool met de volgende vergelijking: y = A*x^2 + B*x + C. De variabelen A, B en C zijn bekend en worden dus niet gezocht.

De parabool die gezocht wordt beschrijf ik met de vergelijking: y = D*x^2 + E*x +F.
Van de gezochte parabool is het min/max bekend: (x1,y1)

Het punt waar beide parabolen elkaar raken is onbekend en beschrijf ik met de variabele x2.
Er zijn dus 4 onbekende:
D, E, F en x2

Voor het oplossen van de 4 onbekende zijn de volgende vergelijkingen beschikbaar:

1.
Het punt (x1,y1) is deel van de gezochte parabool:
y1 = D*x1^2 +E*x1 +F

2.
Het punt (x1,y1) is het min/max van de gezochte parabool. De afgeleide op dit punt is dus 0: dy/dx = 2*D*x1 + E = 0

3.
Er moet een punt zijn waar beide parabolen elkaar raken:
A*x2^2 + B*x2 + C = D*x2^2 + E*x2 +F

4.
Het punt waar beide parabolen elkaar raken moeten beide parabolen de zelfde richting hebben. Dus de afgeleide in het raakpunt moet gelijk zijn:
2*D*x2 + E = 2*A*x2 + B

Vier vergelijkingen voor het oplossen van vier onbekende zou in theorie moeten kunnen. Het lukt me echter niet het op te lossen. Wie helpt me op weg?

Bij voorbaat dank.

Groet,
Jack

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Twee parabolen elkaar laten raken

Bericht door SafeX » 06 sep 2015, 22:13

JdH schreef: 2.
Het punt (x1,y1) is het min/max van de gezochte parabool.
Dan is de functie: y=D(x-x1)^2 + y1

JdH
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 06 sep 2015, 19:32

Re: Twee parabolen elkaar laten raken

Bericht door JdH » 07 sep 2015, 21:02

SafeX,

Dank voor je snelle reactie. Kun je een toelichting geven op je oplossing? Raakt deze parabool aan de gegeven parabool?

Wellicht heb ik de vraagstelling niet duidelijk gedaan. Ik vermoed dat een oplossing de vorm heeft:
D=f(A, B, C, X1, Y1)
E= ,,
F= ,,
X1=,,

Groet,
Jack

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Twee parabolen elkaar laten raken

Bericht door arie » 08 sep 2015, 07:03

Elke parabool waarvan (x1, y1) de top is heeft de vorm:
y = D(x-x1)^2 + y1

Gebruik dit in je stap 3, dus in plaats van D*x2^2 + E*x2 + F.
Je zoekt de D waarvoor x2 precies 1 oplossing heeft.
JdH schreef:...Ik vermoed dat een oplossing de vorm heeft:
D=f(A, B, C, X1, Y1)
E= ,,
F= ,,
X1=,,
D kan je dan inderdaad uitdrukken in A, B, C, X1 en Y1.
Als je D weet, dan weet je E en F ook (waarom?)
X1 is gegeven.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Twee parabolen elkaar laten raken

Bericht door SafeX » 08 sep 2015, 08:54

JdH schreef:SafeX,

Dank voor je snelle reactie. Kun je een toelichting geven op je oplossing? Raakt deze parabool aan de gegeven parabool?
Het is geen oplossing die ik gaf.
Jij gaat voor de tweede onbekende parabool uit van de algemene vorm, maar dan gebruik je het gegeven van het extreem (x1,y1) niet.
Ga na dat de vorm y=D(x-x1)^2+y1 daar wel aan voldoet ... (vul in x=x1, wat zie je dan?)
Dit betekent dat je slechts twee onbekenden hebt D en x2.
Welke verg (van die je hebt staan) zijn voldoende om deze twee te vinden.

Verder is het verstandig om onbekenden duidelijk aan te geven, dus geen D (maar bv P) en geen x2 (maar bv p), ook mis ik randvoorwaarden zoals A en D mogen niet 0 zijn.

Plaats reactie