Snijpunten cirkel en ellips

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
mechamania
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 15 okt 2012, 23:15

Snijpunten cirkel en ellips

Bericht door mechamania » 30 sep 2015, 18:53

Hallo
Ik heb een ander probleempje. Ik denk een stuk simpeler.

Ik moet het inverse kinetische model van een machine in een stukje C code vatten.
Ik heb het probleem kunnen herleiden tot het bepalen van snijpunten van een cirkel en ellips.

Afbeelding

Ik heb een ellipse met major en minor assen samenvallend met de X en Y assen. Dus ellipse wordt alleen bepaald door de straal in X en de straal in Y richting. Dan heb ik een willekeurige cirkel. Ik moet de snijpunten tussen cirkel en ellips berekenen.

Wederom een formule nodig om te implementeren in C-code. Is dit te doen?

mechamania
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 15 okt 2012, 23:15

Re: Snijpunten cirkel en ellips

Bericht door mechamania » 30 sep 2015, 20:11

Ik had het natuurlijk al wel zelf geprobeerd.

Formule voor willekeurige cirkel:

Formule voor de ellipse op nulpunt en major/minor assen samenvallend met X en Y:

Maar hoe deze formules samen te nemen?
Hier schiet mijn wiskunde expertise te kort. Ik hoop dat er een leuk slim truukje is.

Misschien nog handig om op te merken dat de cirkel en ellips dusdanig zijn dat er altijd 2 oplossingen zijn.
Dus ze snijden elkaar altijd en overlappen niet zo ver dat er meer dan 2 oplossingen zijn.

mechamania
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 15 okt 2012, 23:15

Re: Snijpunten cirkel en ellips

Bericht door mechamania » 01 okt 2015, 09:57

Of kan ik beter de ellips met een parameter beschrijven:




En dan de afstand tot midden punt circel berekenen en dit gelijk stellen aan straal van cirkel.
Stel x0 en y0 midden punt cirkel en k is straal in kwadraad. (voor eenvoud bereken ik afstand in kwadraad).
Dus:



Maar hoe moet ik nu verder??

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Snijpunten cirkel en ellips

Bericht door arno » 01 okt 2015, 13:35

Stel de cirkel heeft middelpunt (p,q) en straal r, dan is de parametervoorstelling van de cirkel x = p+r∙cos α, y = q+r∙sin α, dus p+r∙cos α = a∙cos α en q+r∙sin α = b∙sin α, dus en . Hieruit is dus te bepalen voor welke x en y de cirkel en de ellips elkaar snijden.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

mechamania
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 15 okt 2012, 23:15

Re: Snijpunten cirkel en ellips

Bericht door mechamania » 01 okt 2015, 14:37

arno schreef:Stel de cirkel heeft middelpunt (p,q) en straal r, dan is de parametervoorstelling van de cirkel x = p+r∙cos α, y = q+r∙sin α, dus p+r∙cos α = a∙cos α en q+r∙sin α = b∙sin α, dus en . Hieruit is dus te bepalen voor welke x en y de cirkel en de ellips elkaar snijden.

Hallo Arno,

Hierbij gebruik je dan dezelfde alpha voor zowel de cirkel als de ellips. Dat kan toch niet?
Het punt waarbij de cirkel en ellips elkaar snijden is zeer waarschijnlijk niet het punt waar de cirkel en ellips alpha parameter het zelfde is.

Volgens mij krijg ik




Twee vergelijkingen met twee onbekenden. Maar hoe los ik dat op?
Of maak ik nu een denk fout?

Back2Basics
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 15
Lid geworden op: 14 aug 2015, 09:50

Re: Snijpunten cirkel en ellips

Bericht door Back2Basics » 05 okt 2015, 14:20

mechamania schreef:...
Hierbij gebruik je dan dezelfde alpha voor zowel de cirkel als de ellips. Dat kan toch niet?
Het punt waarbij de cirkel en ellips elkaar snijden is zeer waarschijnlijk niet het punt waar de cirkel en ellips alpha parameter het zelfde is.
...
Oeps! Juist wel. Je gebruikt poolcoordinaten.
Je kun je voorstellen dat je zelf in het centrum staat, in (of op) de pool. In het platte vlak om je heen staan twee figuren getekend, ieder beschreven met een eigen functie. Je gaat onderzoeken of de twee figuren elkaar snijden. Vanuit je ruststand draai je een zekere hoek alfa, om je pool heen. Vervolgens verleng je je straal tot je in het (of: een) snijpunt bent.
Op dat moment weet je zowel de hoek als afstand tot de pool voor ieder van de figuren.

Plaats reactie