Beste
Ik zit al een lange tijd te zoeken op een vraagstuk maar de oploswijze schiet me te kort. Het moet met vectoren opgelost worden.
De vraag:
Om reparaties aan een pijpleiding uit te voeren vanuit een vast punt O (0;0;0) op de begane grond, voert men metingen uit om de ligging van de pijpleiding te bepalen. Ten opzichte van een assenstelsel door O met x-as en y-as langs het grondoppervlak en de z-as daar loodrecht op, vindt men 2 punten A(0;15;-32) en B(20;20;-30). Bepaal de coördinaat van het punt P op de pijpleiding dat het dichtste bij O ligt.
Ik had al gevonden dat vector AB = 20i + 5j + 2k
Vector AP = u * vector AB
Dan wou ik met scalair product werken, maar dat lukt me niet helemaal.
Hoor graag jullie oplossing. Dank bij voorbaat
Met vriendelijke groeten
Jorrit
Kortste afstand naar rechte
Re: Kortste afstand naar rechte
Je neemt waarschijnlijk aan dat de pijpleiding een rechte lijn l vormt (zonder buigingen of knikken etc).
Je had al gevonden de vector b-a:
Dit is een richtingsvector van de lijn l door je punten A en B.
De vectorvoorstelling van de lijn l wordt dan:
 \;+\; a \;=\; \lambda \cdot \begin{bmatrix}20 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix} \;+\; \begin{bmatrix}0 \\ 15 \\ -32 \end{bmatrix})
Dus voor alle punten op de lijn l (en dus ook het punt P dat je zoekt) geldt:
voor een zekere lambda.
Om de (kortste) afstand van lijn l tot oorsprong O te bepalen zoek je nu een vlak V loodrecht op l en door O.
Een normaalvector van V is de richtingsvector van l = [20; 5; 2] die we hierboven al gevonden hadden.
Daarmee heeft V de gedaante:
voor een constante c.
Omdat de oorsprong O = [0; 0; 0] op V ligt kunnen we c bepalen:
waardoor vlak V gedefinieerd is door:
Nu moeten we lijn l nog snijden met vlak V om je punt P te vinden.
Vullen we de gegevens van l (zie hierboven) in in V, krijgen we:
 \;+\; 5 \cdot (5 \lambda + 15) \;+\; 2 \cdot (2 \lambda - 32) \;=\; 0)
Hieruit kunnen we lambda oplossen:
en daarmee vinden we voor punt P de coordinaten:
\;\approx \; -0.51282)
 \;+\; 15\;\approx \; 14.87179)
 \;-\; 32\;\approx \; -32.051282)
Je had al gevonden de vector b-a:
Dit is een richtingsvector van de lijn l door je punten A en B.
De vectorvoorstelling van de lijn l wordt dan:
Dus voor alle punten op de lijn l (en dus ook het punt P dat je zoekt) geldt:
voor een zekere lambda.
Om de (kortste) afstand van lijn l tot oorsprong O te bepalen zoek je nu een vlak V loodrecht op l en door O.
Een normaalvector van V is de richtingsvector van l = [20; 5; 2] die we hierboven al gevonden hadden.
Daarmee heeft V de gedaante:
voor een constante c.
Omdat de oorsprong O = [0; 0; 0] op V ligt kunnen we c bepalen:
waardoor vlak V gedefinieerd is door:
Nu moeten we lijn l nog snijden met vlak V om je punt P te vinden.
Vullen we de gegevens van l (zie hierboven) in in V, krijgen we:
Hieruit kunnen we lambda oplossen:
en daarmee vinden we voor punt P de coordinaten:
Re: Kortste afstand naar rechte
Bedankt Arie voor je reactie!
Jorrit
Jorrit
Re: Kortste afstand naar rechte
OK, maar nu ik je vraag nog eens lees: is dit echt een praktijkprobleem of hoort deze vraag eigenlijk thuis onder onderwijs?
(in het laatste geval had ik je niet zo'n uitgebreid antwoord moeten geven, maar jou meer aan het werk moeten zetten)
(in het laatste geval had ik je niet zo'n uitgebreid antwoord moeten geven, maar jou meer aan het werk moeten zetten)