Reverse calculeren van annuïteit

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
marcoth
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 mar 2016, 12:41

Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door marcoth » 17 mar 2016, 12:58

Geachte lezer,

Momenteel ben ik bezig met een annuïteitenberekening waar ik niet goed uit kom.

Bekende variabelen:
- Financieringshoogte
- Cumulatieve rente (in absoluut bedrag)
- Hoogte annuïteit (dus niet de verdeling tussen aflossings- en rentecomponent)
- Looptijd

Met deze bekende variabelen wil ik het rentepercentage van de annuïteit kunnen berekenen. Hoe ga ik dit doen? Alvast dank!

Vriendelijke groet,
Marco

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door arie » 18 mar 2016, 00:44

Heb je een formule die de relatie tussen al deze 5 variabelen weergeeft, en hoe ziet die formule er uit?

marcoth
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 mar 2016, 12:41

Re: Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door marcoth » 18 mar 2016, 20:10

Beste Arie,

Ik stuur je graag het document waarin ik werk door. Het is naar mijn mening niet goed op het forum te plaatsen. Kan je me je mailen op marcoth[at]live.nl?

Ieder ander die interesse heeft in het oplossen van het vraagstuk kan het ook op bovenstaand emailadres laten weten. Alvast dank!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door arie » 20 mar 2016, 13:03

Als je moeite hebt met LaTeX kan je ook normale tekst met voldoende veel haakjes gebruiken, bijvoorbeeld



is te schrijven als:

1 + ((a+b)^(c+d)) / (((1+i)^n)*k) = p^q

(beter te veel haakjes dan te weinig)

Een andere mogelijkheid is om een screen-capture als plaatje op het forum te plaatsen.
(Zie bijvoorbeeld viewtopic.php?f=15&t=5039).

Het voordeel is dat op die manier iedereen op dit forum mee kan denken en helpen.

Lukt je dit?

marcoth
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 mar 2016, 12:41

Re: Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door marcoth » 20 mar 2016, 13:52

Hallo Arie,

Hopelijk is onderstaande uitleg voldoende duidelijk.

De annuïteitenfinanciering is een financiering waarbij een vast bedrag per termijn (de annuïteit [AN]) gebruikt wordt om zowel het aflossings- (AFL) als het rentecomponent (Rm (€)) in te plaatsen. De som van AFLt + Rm (€) = AN. De volgende gegevens zijn nodig om een berekening te kunnen maken:

Financieringshoogte = FH
Aantal termijnen = T
Termijn x = t
Jaarrente in percentage = R(%)
Jaarrente in euro's = R(€)
Maandrente in percentage = Rm(%) = (1+R)^(1/T)-1
Annuïteit = AN = (FH * Rm(%)) / (1-(1+Rm(%))^(-T))
Openstaand bedrag termijn t = O = Ot-1 - AFLt-1
Maandrente per t in euro's = Rm(€) = Ot * Rm(%)
Aflossing per t = AFLt = AN - Rm(€)

Totale afbetaling = Som AFLt (=FH)
Totale rente = REND = Som Rm (€)
Totaal te ontvangen = Som AFL + REND

Een voorbeeld zou dan zijn:
Financieringshoogte = FH = 100.000 EUR
Termijnen = T = 12 maanden / 1 jaar
Jaarrente = R(%) = 10%
Maandrente = Rm (%) = 0,80%
Annuïteit = AN = 8.771,55 EUR
Totale rente = REND = 5.258,65 EUR

Het probleem waar ik mee zit is dat normaliter FH, R(%) en T bekend zijn en van daaruit de berekening te maken is. In mijn geval heb ik R(%) niet, maar heb ik REND. Ik weet dus de totale som van rente-opbrengsten, maar niet welk rentepercentage hierbij hoort. Ik vraag me af of het mogelijk is om dit percentage te kunnen berekenen met het REND, en zo ja hoe dit kan. Alvast dank!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door arie » 20 mar 2016, 15:12

Dit probleem kunnen we alleen numeriek oplossen.

Je gaat uit van FH, T en REND.
Er geldt:



dus



anderzijds had je gegeven:



dus



ofwel (deel links en rechts door FH):



FH, REND en T zijn gegeven, het linker lid is dus een constante C die we kennen.
Rm is de onbekende x die we zoeken (als we x = Rm kennen, kunnen we ook R berekenen).
De vergelijking wordt dan:



ofwel



ofwel



ofwel



ofwel



Dit is een (T+1)de graads vergelijking waaruit je in het algemeen (= als T+1>4) x niet via een vergelijking kan oplossen.
Het is wel mogelijk via numerieke benadering.
Je zoekt een x = Rm, die groter is dan nul, maar waarschijnlijk niet groter zal zijn dan 0.1 (anders worden het wel erg hoge woekerwinsten).
Er bestaan diverse computer-algoritmen die tot op grote nauwkeurigheid de oplossing hiervoor kunnen vinden.

Voorbeeld:
Neem zoals in jouw voorbeeld:
FH = 100000
REND = 5258.65
T = 12
dan is



en willen we x oplossen uit

(x-0.08771554)*(x+1)^12 + 0.08771554 = 0

copy/paste deze vergelijking naar het invoerveld van http://www.wolframalpha.com/ en dit programma geeft je de oplossingen.
De rente is niet een complex getal, dus kijk onder de kop "Real solutions"
De enige oplossing groter dan nul is x = 0.00797413 en dit is de maandrente Rm die je zocht.
De jaarrente R wordt dan



zoals verwacht.

marcoth
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 mar 2016, 12:41

Re: Reverse calculeren van annuïteit

Bericht door marcoth » 20 mar 2016, 22:01

Arie, u bent een held. Mijn dank is groot!

Plaats reactie