Wiskundeforum

Hallo iedereen,

Ik ben momenteel bezig met het schrijven van een juridisch artikel waar onder meer een waarderingsproblematiek aan bod komt. Zonder te veel uit te willen weiden (het gaat hier om wiskunde natuurlijk) zou ik volgende stelling moeten kunnen aantonen (of beter gezegd begrijpen/uitleggen). Ik heb empirisch vastgesteld dat het volgende geldt:

X= Y.(1/(1+Y/X))^1 + Y.(1/(1+Y/X))^2+ ... + Y.(1/(1+Y/X))^oneindig

Of m.a.w. wanneer de reeks wordt geëxtrapoleerd naar oneindig wordt X benaderd.

Alleen schiet mijn wiskunde mij te kort om dit te verklaren of logisch uiteen te zetten.

Kan iemand mij hiermee helpen?

alvast bedankt!

We moeten aantonen

X= Y.(1/(1+Y/X))^1 + Y.(1/(1+Y/X))^2+ ... + Y.(1/(1+Y/X))^oneindig

ofwel

$x = y\cdot\left(\frac{1}{1+y/x}\right)^1 +y\cdot\left(\frac{1}{1+y/x}\right)^2 + ... + y\cdot\left(\frac{1}{1+y/x}\right)^\infty$

ofwel (deel alles door y):

$\frac{x}{y} = \left(\frac{1}{1+y/x}\right)^1 +\left(\frac{1}{1+y/x}\right)^2 + ... + \left(\frac{1}{1+y/x}\right)^\infty$

ofwel (vermenigvuldig elke breuk tussen haakjes met x/x):

$\frac{x}{y} = \left(\frac{x}{x+y}\right)^1 +\left(\frac{x}{x+y}\right)^2 + ... + \left(\frac{x}{x+y}\right)^\infty$

ofwel, als limiet van een sommatie:

$\frac{x}{y} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n \left(\frac{x}{x+y}\right)^i$

De sommatie kan je bijvoorbeeld hier terugvinden:
https://en.wikipedia.org/wiki/Summation ... tial_terms

$\sum_{i = 0}^n a^i = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}$

(als je wil kan je dat ook nog bewijzen).

Dus (we starten hier bij i=1):

$\sum_{i = 1}^n a^i = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} - a^0$

$= \frac{1-a^{n+1}}{1-a} - 1$

$=\frac{1-a^{n+1}}{1-a} - \frac{1-a}{1-a}$

$=\frac{1-a^{n+1}-1+a}{1-a}$

$=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}$

$=a \cdot \frac{1-a^n}{1-a}$

In jouw geval is

$a = \frac{x}{x+y}$

Als x en y groter dan nul zijn, ligt a tussen nul en 1.
Als daarbij ook n naar oneindig gaat, gaat a^n naar nul, dus

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i = 1}^n a^i = \lim_{n \rightarrow \infty}a \cdot \frac{1-a^n}{1-a}= a \cdot \frac{1}{1-a} = \frac{a}{1-a}$

Dus (terug naar x en y):

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n \left(\frac{x}{x+y}\right)^i = \frac{x/(x+y)}{1-(x/(x+y))}$

vermenigvuldig teller en noemer met (x+y):

$= \frac{x}{(x+y)-x} = \frac{x}{y}$

hetgeen te bewijzen was.

Lijkt me flauwekul.

manus schreef:Lijkt me flauwekul.

Waarom?

arie schreef:
manus schreef:Lijkt me flauwekul.
Waarom?

Nee toch niet na jouw uitleg begrijp ik het...

OK, dan klopt het nog.

Overigens is het wellicht eenvoudiger de sommatieformule direct af te leiden (we kunnen dan die wiki-pagina overslaan):

$\sum_{i=1}^n a^i = a^1 + a^2 + a^3 + ... + a^{n-1} + a^n$

dus

$a \cdot \sum_{i=1}^n a^i = a\cdot(a^1 + a^2 + a^3 + ... + a^{n-1} + a^n)$

ofwel

$a \cdot \sum_{i=1}^n a^i =a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^n + a^{n+1}$

dus

$\sum_{i=1}^n a^i - a \cdot \sum_{i=1}^n a^i =a^1 + a^2 + a^3 + ... + a^{n-1} + a^n - (a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^n + a^{n+1})$

ofwel (alle gelijke termen rechts vallen tegen elkaar weg)

$(1-a) \cdot \sum_{i=1}^n a^i=a^1- a^{n+1}$

en

$\sum_{i=1}^n a^i= \frac{a- a^{n+1}}{1-a}$

zoals we hierboven ook vonden.

Wiskundeforum

Wiskundig bewijs voor juridisch artikel

Wiskundig bewijs voor juridisch artikel

Re: Wiskundig bewijs voor juridisch artikel

Re: Wiskundig bewijs voor juridisch artikel

Re: Wiskundig bewijs voor juridisch artikel

Re: Wiskundig bewijs voor juridisch artikel

Re: Wiskundig bewijs voor juridisch artikel