Verdeling in zessen

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Ruud66
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 27 jun 2016, 11:16

Verdeling in zessen

Bericht door Ruud66 » 27 jun 2016, 11:53

Ik ben astroloog en zoek naar een oplossing voor een eenvoudig geometrieprobleem.

Ik begrijp natuurlijk dat wiskundigen over het algemeen rationele mensen zijn en niets hebben met zoiets mistigs als astrologie, maar ik waag toch de gok.

Ik zoek een manier om een hemisfeer op een vloeiende manier te verdelen in zes sectoren (dit heet in de astrologie een huizenverdeling). Om dit zo eenvoudig mogelijk te maken, heb ik het probleem als volgt geformuleerd:

Verdeel een lijnstuk met lengte 1 in zes delen A, B, C, D, E en F
Er geldt nu:
1. A÷B=B÷C=C÷D=D÷E=E÷F
2. A+B+C=X en 0<X<1
Wat zijn de lengtes van A, B, C, D, E en F uitgedrukt als functie van X?

De X is de grootte van één van de kwadranten van de cirkel van de horoscoop en die is bijna nooit 90°. Als de kwadranten toevallig wél 90° zijn, is het probleem natuurlijk supereenvoudig, maar het gaat mij uiteraard om al die andere verdelingen. En ik weet niet eens zeker of deze manier van verdelen wel mogelijk is.
Veel plezier en alvast veel dank!

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Verdeling in zessen

Bericht door David » 27 jun 2016, 13:08

Definieer r = A/D zodat D * r = A, E * r = B en F * r = C. Dan
X = A + B + C = r * (D + E + F) zodat D + E + F = X / r, voor 0 < X < 1.
en met
A + B + C + D + E + F = 1 vinden we dat
X + X / r = 1 ofwel
r * X + X = r geeft
r = X / (1 - X).

Stel nu s^3 = r zodat s = r ^ (1/3) = (X / (1 - X)) ^ (1/3) en A/B = B/C = C/D = D/E = E/F = s. Dan
A + B + C = s^2 * C + s * C + C = (s^2 + s + 1) * C = X.
Ofwel C = X / (s^2 + s + 1).
Kan je zo verder?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Ruud66
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 27 jun 2016, 11:16

Re: Verdeling in zessen

Bericht door Ruud66 » 27 jun 2016, 19:34

Bedankt voor de snelle reactie. Ik ga aan de slag en doe mijn best :)

Ruud66
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 27 jun 2016, 11:16

Re: Verdeling in zessen

Bericht door Ruud66 » 29 jun 2016, 10:11

Hallo David,
Het is mij inderdaad gelukt om iets in excel te fabriceren wat precies voldoet aan mijn verwachtingen.
Hiervoor heb ik gewerkt met X=180° i.p.v. X=1

Ik neem aan dat je op de zesde regel bedoelde: r*X+X=1? en niet ...=r?
Ik gebruik nu r=X/(180-X)

En met de dubbel-checks die ik er had bijgemaakt, komt alles inderdaad prachtig uit (zoals je al verwachtte natuurlijk).

Nogmaals veel dank! Ik kan weer vooruit.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Verdeling in zessen

Bericht door David » 29 jun 2016, 22:04

Mooi dat het gelukt is! Geen moeite.

Maar ik bedoel toch
r * X + X = r.

We hadden X + X / r = 1. Vermenigvuldigen met r geeft:
r * (X + X / r) = r * 1
r * X + r * X / r = r
r * X + X = r. Zie je?

Als we oplossen voor r (schrijven r = ...) dan kunnen we als volgt werken:
r * X + X = r (trek r + x af.)
(r * X + X) - (r + X) = r - (r + x) [vereenvoudig]
r * X - r = -X (haal r buiten haakjes)
r * (X - 1) = -X (deel door X - 1)
r = -X / (X - 1) (in het rechterlid, vermenigvuldig teller en noemer met -1)
r = X / (1 - X), als we vonden.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Ruud66
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 27 jun 2016, 11:16

Re: Verdeling in zessen

Bericht door Ruud66 » 30 jun 2016, 14:29

Bedankt en je had gelijk, natuurlijk.
Ik had inderdaad moeite om je met die volgende stap bij te houden. Wat je dus nu als laatste hebt uitgelegd.
Maar ik snap 'm nu.

Plaats reactie