In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Johan Dak
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 30 aug 2016, 20:35

In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door Johan Dak » 30 aug 2016, 20:49

Ik heb sinds enige jaren zonnepanelen op het dak liggen. Ze liggen ongeveer naar het oosten (azimut 100 graden) en onder een hoek van 35 graden met de grond.

In welke plaats op de aarde, coördinaten, gaat de zon onder als ze ook voor mijn dak 'onder' gaan. Ik weet dat het ergens in de buurt van Volgograd moet liggen , maar ik kom er niet precies uit.

Mijn coördinaten zijn: nb = 51.484354; ol = 6.162139;

Er moet ergens in Rusland een plaats zijn die waarbij de grond evenwijdig aan mijn dak loopt.

groeten
Johannes

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door arie » 31 aug 2016, 22:13

We kunnen berekenen naar welk punt van de sterrenhemel je paneel kijkt, en vervolgens waar op aarde dat punt in het zenit staat.

De formules voor omzetting naar 'declinatie' en 'right ascension' vind je bijvoorbeeld hier:
http://www.astro.caltech.edu/~mcs/CBI/pointing/
onder de paragraaf "Spherical coordinate systems"

Met:
phi = 51.484354
lambda = -6.162139
A = 100
E = 55
is declinatie delta = asin(sin(phi)*sin(55) + cos(phi)*cos(55)*cos(100))
(ik kom uit op delta = 35.37403683000)

Right Ascension alpha = tau - H, met:
Hour angle H = acos((sin(55)-sin(delta)*sin(phi))/(cos(delta)*cos(phi)))
(ik vind H = +/- 43.848284323)
Local siderial time:
(zie bv https://en.wikipedia.org/wiki/Hour_angle)
Hiervoor kunnen we een tijdstip prikken:
31-8-2016, 24:00 uur zomertijd = 31-8-2016, 22:00 uur UT
levert Julian Day number = 2457632.416666666,
en Greenwich Sidereal Time = 20.700455612
alpha = 15*20.700455612 - lambda +/- H = 360.5172575 = 0.5172575 graden = 0.034483834 uur
(zie bv http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/GAST.php voor de formules)

Locale sidereal time = lst = GST - lambda/15 = 21.111264879
We zitten dan 24+alpha-lst = 3.4059926 uur meer ten westen van de gezochte locatie.
Dit is 3.4059926*15 = 51.0898895 graden,
dus de OL van die locatie is 51.0898895 - lambda = 57.2520285 graden
We hadden al NB = delta = 35.37403683.

N 35.37403683, E 57.2520285 = ergens in Iran (volgens google maps)
Dit is dus anders dan wat jij had.

Hoe kwam jij uit op de omgeving van Wolgograd?

Johan Dak
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 30 aug 2016, 20:35

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door Johan Dak » 02 sep 2016, 22:51

Huis staat op:
NB = 51.484354
OL = 6.162139
Dak ongeveer op het oosten (azimut 100 graden) en onder een hoek van 35 graden met de grond.
Gevraagd plaats op aarde evenwijdig aan dak zodat hoogste punt zon en ondergang zon kan worden uitgerekend voor het dak.

Als het dak precies op het oosten zou liggen, (azimut 90 graden). Zou ik het gevraagde punt
35 graden en oosten van ons liggen.

Het dak is iets meer naar het zuiden gericht, dus het gevraagde punt ligt ook iets zuidelijker.
Ik heb een tekening proberen te maken en aan de hand daarvan bepaald wat de helling van het dak in oostelijke richting is. Volgens mijn berekening is dat 34,5 graad.

Ook heb ik berekend wat de helling van het dak in zuidelijke richting is. Dit is volgens mij 6,2 graden.

Het gevraagde punt zou dan zijn:
NB = 51.484354 –6,2
OL = 6.162139 + 34,5
Deze positie heb ik voor het gemak maar Volgograd genoemd.

Maar als dit zou zou zijn, dan verwacht ik ook dat als de zon onder gaat in Volgograd de opbrengst van direct zonlicht dan ook ophoudt en dat ik alleen nog wat opbrengst heb van defuus licht. Maar helaas dat klopt niet helemaal (helemaal niet)

Zie http://meteenglimlach.com/zon/mainpages/dag.php
En dan als datum: 20160830 20160508 20160110 20151002

Arie,
Bedankt dat je er na hebt willen kijken. Ik kan de berekening niet helemaal volgen.
N 35.37403683, E 57.2520285 wijkt echter nog veel meer af. Dit punt ligt veel te ver weg.

Volgens mij moet je het ook kunnen uitrekenen zonder astromnomie, en alleen met wiskunde. Iets met vektoren of zo iets, maar dat is voor mij te lang (meer dan 30 jaar) geleden.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door wnvl » 02 sep 2016, 23:39

De vraag is dus eigenlijk: "waar op de aarde is het raakvlak aan de aarde evenwijdig met het dak van jouw huis?"
Of zie ik het verkeerd?


Als we alles omzetten naar een xyz assenstelsel met als oorsprong het middelpunt van de aarde dan is dat inderdaad niet zo moeilijk om te berekenen zoals jezelf aangeeft. Het is wel wat werk. Als je handig bent in boldriehoekmeetkunde (ik helaas niet; voor zover ik weet wordt dat alleen nog in scheepvaartscholen onderwezen), gaat het sneller kunnen, denk ik.

Je moet zorgvuldig alles uitschrijven, want een rekenfout gaat snel gemaakt zijn. Je moet beginnen met de normaal op het raakvlak te berekenen voor de plek waar je woont. Dat is nog niet zo moeilijk...

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door arie » 03 sep 2016, 15:20

phi = 51.484354 graden
lambda = -6.162139 graden
A = 100 graden
E = 55 graden
GST = 20.700455612 uur

delta = 35.3740368300 graden
LHA = -43.848284323 graden

RA = alpha = 15*GST - lambda - LHA - 360 = 0.5172575 graden = 0.0344838 uur

Tot hier lijkt alles te kloppen.
Daarna is er in ieder geval iets mis met de formules en mijn berekening.

Eenvoudiger gaan we vanaf hier verder met:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hour_angl ... _ascension
Hiermee kunnen we lambda2 (waar LHA2 gelijk aan nul is) bepalen:
0 = 15*GST - lambda2 - alpha
lambda2 = 309.989576 graden = -50.010423 graden (O.L.)
waardoor we uitkomen op dit punt (zoals wnvl schreef: het punt op het aardoppervlak waar het raakvlak aan de aarde evenwijdig is aan je paneel):

N 35.374036830, E 50.010423

Dus een iets andere positie, maar nog steeds in Iran.


In het geval dat je je paneel perfect op het oosten richt (A=90) en je legt het vlak in dezelfde stand precies 35 graden verder in het oosten, zal daar de zuidkant van je paneel in de grond verdwijnen (we zitten op 51NB, we werken niet uitsluitend in het vlak van deze breedtegraad, de noord-zuidcomponent speelt ook mee).

Vooralsnog hou ik nog wel wat vertrouwen in de astronomie, maar het zou mooi zijn als iemand deze berekening via een andere weg kan bevestigen of weerleggen.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door wnvl » 03 sep 2016, 22:35

We kunnen altijd eens proberen. Ik gebruik een aanpak die weinig tot geen ruimtelijk inzicht vergt, maar waarschijnlijk niet de kortste is.

We stellen de aarde voor door een bol met straal 1.

De x-as is de as door het centrum en door het punt met OL=0 op de evenaar.
De y-as is de as door het centrum en door het punt met OL=90 op de evenaar.
De z-as is de as door het centrum en de Noordpool.

Het xz-vlak is dus het meridiaanvlak van Greenwhich.

Het dak bevind zich op positie

nb = 51.484354; ol = 6.162139;

Ik gebruik bolcoordinaten, zoals we dat gewoon zijn in de mechanica. Voor meer uitleg zie
https://nl.wikipedia.org/wiki/Bolco%C3%B6rdinaten

We hebben nu

r=1
theta=90-51.484354=38.515646
phi=6.162139

De x, y en z coordinaten worden dan

x=r*sin(theta)*cos(phi)=1*sin(38.515646)*cos(6.162139)=0.61913026
y=r*sin(theta)*sin(phi)=1*sin(38.515646)*sin(6.162139)=0.06684515
z=r*cos(theta)=1*cos(38.515646)=0.78243813

Deze (x,y,z) vector is ook de normaal op het raakvlak aan de aarde ter hoogte van het huis.

Nu moeten we dit vlak roteren naar het oosten (azimut 100 graden) en onder een hoek van 35 graden met de grond roteren.
Een rotatie stellen we in de mechanica voor door een rotatievector omega.
Eerste wat we nu moeten doen, is deze rotatievector omega berekenen. Maar dat is voor een volgende post.
Of als iemand anders zin heeft, mag hij/zij wat verder gaan.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door wnvl » 04 sep 2016, 16:15

vector A = (0.61913026, 0.06684515, 0.78243813) is de richtingsvector van de as door het centrum van de aarde en het huis.

Ter hoogte van het huis is de puntvector voor de richting naar het Oosten gedefinieerd door

vector B = (-sin(phi), cos(phi), 0)=(-sin(6.162139), cos(6.162139), 0)=
(-0.10734239, 0.99422211, 0)

Op basis van deze vector berekenen we

vector C = vector B roteren over een hoek van 80 graden meer naar het Noorden rond vector A
vector D = vector B roteren over 10 graden meer naar het zuiden rond vector A

Vectoren C en D geven de hoofdrichtingen aan van de zonnepanelen wanneer de panelen plat op de grond zouden liggen.

vector E is vector D geroteerd over 35 graden rond vector C.

Vectoren C en E vormen de richtingen van de zonnepanelen. Het vectorieel product F van C en E is de normaal op het vlak van de zonnepanelen.
De coordinaten van het snijpunt van deze vector F met de eenheidssfeer bepaalt de positie op aarde die we zoeken.

Bij deze is de strategie alvast helemaal uitgeklaard. Nu nog rekenen...

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door wnvl » 04 sep 2016, 22:06

Met de hand uitrekenen is niet te doen. Hier de code met Matlab.

Code: Selecteer alles

%Locatie van Huis. Straal aarde is 1.
azimuthHuis = 6.162139;
elevationHuis = 51.484354;
[xHuis, yHuis, zHuis] = sph2cart(degtorad(azimuthHuis), degtorad(elevationHuis), 1);
vectorHuis = [xHuis, yHuis, zHuis]

%Puntvector die vanaf het huis naar het Oosten wijst.
vectorOosten = [-sin(degtorad(azimuthHuis)), cos(degtorad(azimuthHuis)), 0]

%Puntvector in richting zijde paneel paralel met aarde.
vectorPaneelParalelAardopp = rotVecAroundArbAxis(vectorOosten, vectorHuis, 80)
vectorHulp = rotVecAroundArbAxis(vectorOosten, vectorHuis, -10)

%Puntvector in richting zijde paneel niet paralel met aarde.
vectorPaneelNietParallelAardopp = rotVecAroundArbAxis(vectorHulp, vectorPaneelParalelAardopp, 35)

%Normaalvector op het zonnepaneel
vectorNormaalPaneel = cross(vectorPaneelNietParallelAardopp, vectorPaneelParalelAardopp)

[azimuth, elevation, r] = cart2sph(vectorNormaalPaneel(1), vectorNormaalPaneel(2), vectorNormaalPaneel(3))
locatie = [rad2deg(azimuth), rad2deg(elevation), r]
Ik kom dezelfde oplossing uit als Arie

locatie =

50.0104 35.3740 1.0000


Dus in Iran. Je vertrouwen in de astronomie was dus terecht!



Hier nog tussenliggende resultaten.

Code: Selecteer alles

>> VectorRotaties

vectorHuis =

    0.6191    0.0668    0.7824


vectorOosten =

   -0.1073    0.9942         0


vectorPaneelParalelAardopp =

   -0.7847    0.0899    0.6133


vectorHulp =

    0.0294    0.9937   -0.1081


vectorPaneelNietParallelAardopp =

   -0.3311    0.7757   -0.5374


vectorNormaalPaneel =

    0.5240    0.6247    0.5789


azimuth =

    0.8728


elevation =

    0.6174


r =

    1.0000


locatie =

   50.0104   35.3740    1.0000

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door arie » 05 sep 2016, 14:20

Dank je wnvl, je geeft een mooie en uitgebreide uitwerking.

Dan nog wat extra berekeningen op de tabellen van Johan Dak en de zonsondergangen op de gegeven datums op het punt
phi = N 35.374036830, lambda = E 50.010423:
Declinatie delta en rechte klimming alpha van de zon vind je bv op
http://theskylive.com/sun-info
Hiermee bepaal je op welk tijdstip (= uurhoek H) de zon op elevatie E = 0 graden boven de horizon staat.
Dan heb je ook GST = H + lambda + alpha
GST zet je tenslotte om in UT.
Ik kom dan uit op deze tijdstippen van zonsondergang (in UT + 1):
4-9-2016: 15:57:55
30-8-2016: 16:04:48
8-5-2016: 16:26:36
10-1-2016: 14:40:06
2-10-2015: 15:18:45

Voor de gegeven datums leveren jouw tabellen als ondergang op dak (in UT + 1):
4-9-2016: 16:02
30-8-2016: 16:09
8-5-2016: 16:32
10-1-2016: 14:45
2-10-2015: 15:23

Je ziet dat het wiskundig/astronomisch model het hele jaar door overeenstemt met de tabellen, met een structureel verschil van ongeveer 5 minuten.
Dit lijkt me grotendeels te verklaren doordat:
[1] wij geen rekening houden met breking van het licht door de atmosfeer
[2] wij uitgaan van het middelpunt van de zon, en niet van het bovenste punt ervan t.o.v. de horizon.

De zon gaat uiteraard over een hele lijn op aarde tegelijkertijd onder, maar op ons punt in Iran valt zonsondergang ALTIJD (= het hele jaar door) samen met zonsondergang op je paneel.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door wnvl » 05 sep 2016, 20:08

arie schreef: [2] wij uitgaan van het middelpunt van de zon, en niet van het bovenste punt ervan t.o.v. de horizon.
De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 149,6 miljoen km.
De diameter bedraagt 1 392 684 km.

Dit correspondeert met een hoek van Atan((1392684 /2)/149600000/)=0.27graden.

Of omgerekend naar tijd ongeveer 1 minuut.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door wnvl » 05 sep 2016, 20:15

arie schreef:[1] wij geen rekening houden met breking van het licht door de atmosfeer
Deze zou slechts 35.4′ op de horizon bedragen. Dus aan die vijf minuten komen we niet.

Misschien nog rekening hoeden met het feit dat de aarde afgeplat is (grotere straal bij evenaar dan bij polen).

Johan Dak
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 30 aug 2016, 20:35

Re: In welke plaats gaat zon tegelijk onder met dak

Bericht door Johan Dak » 05 sep 2016, 21:08

arie en wnvl bedankt voor jullie bijdrage.

Zoals jullie zien heb ik inmiddels de coordinaten aangepast. Zowel voor thuis als Iran gebruik ik in PHP de functie date_sun_info.

$dst = 0; // no day light saving time
$nb = 51.484354;
$ol = 6.162139;
$nbIran = 35.374036830;
$olIran = 50.010423;

$sun_info = date_sun_info(strtotime($date), $nb, $ol);
$zonop = (1+$dst)*60+($sun_info["sunrise"]%(24*3600))/60; // minutes since midnight
$zononder = (1+$dst)*60+($sun_info["sunset"]%(24*3600))/60;

$sun_info = date_sun_info(strtotime($date), $nbIran, $olIran);
$zontransitdak = (1+$dst)*60+($sun_info["transit"]%(24*3600))/60;
$zononderdak = (1+$dst)*60+($sun_info["sunset"]%(24*3600))/60;

Als de zon in Iran onder gaat komt er geen directe instraling meer op mijn dak. Met name op de aangeven dagen zie je dat duidelijk in de grafieken.

Bij de functies date_sunrise en date_sunset zijn er ook nog een parameters
date.sunrise_zenith "90.83"
date.sunset_zenith "90.83"
Zo wordt rekening gehouden met met het verschil van rand van de zon en middelpunt van de zon. Ik kan niet vinden of date_sun_info dat ook doet.

Zie ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Zonsondergang

Nogmaals bedankt

Plaats reactie