Oppervlakte onder parabool

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Birgit
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 10 mei 2017, 18:26

Oppervlakte onder parabool

Bericht door Birgit » 10 mei 2017, 18:34

Ik zou de oppervlakte moeten kennen van een stuk uit mijn tuin. Het stuk heeft een rechte zijde van 25 m. De andere zijde is een boog met begin en eindpunt aan de uiteinde van de rechte zijde. Volgens mij kan je spreken van een parabool? Halverwege de rechte zijde is de boog het breedst. De afstand tussen de boog en de rechte zijde is daar 4m.
Hoe bereken ik de oppervlakte? Of zijn er nog gegevens nodig?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3050
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Oppervlakte onder parabool

Bericht door arie » 12 mei 2017, 20:14

De moeilijkheid is dat we niet weten over wat voor soort boog of kromme we het hebben.
In onderstaande figuur is je tuin getekend in een assenstelsel waarbij de lange zijde van je tuin de x-as is, en de y-as door het midden hiervan gaat:

Afbeelding

De zwarte kromme is een deel van een parabool, met de vergelijking



Het oppervlak tussen deze kromme en de x-as is dan ongeveer 66.67 vierkante meter.


De blauwe kromme is een halve ellips, en heeft de vergelijking



Het oppervlak tussen deze kromme en de x-as is dan ongeveer 78.54 vierkante meter.


Dit zijn slechts 2 krommen, maar door je 3 punten zijn er oneindig veel mogelijke krommen te tekenen.
En de oppervlakten in vierkante meters daarvan kunnen behoorlijk verschillen.


Als je niet precies weet wat voor kromme je tuindeel heeft, dan kan je het oppervlak ook op andere manieren berekenen/benaderen, bijvoorbeeld:
Verdeel je oppervlak in verticale stroken met vaste breedte, bijvoorbeeld 1 m, en meet in het midden van elke strook de lengte (= hoogte in dit plaatje):

Afbeelding

De stroken rechts van de y-as hebben lengte:

Code: Selecteer alles

x:      y:
0.5     3.99
1.5     3.94
2.5     3.84
3.5     3.69
4.5     3.48
5.5     3.23
6.5     2.92
7.5     2.56
8.5     2.15
9.5     1.69
10.5    1.18
11.5    0.61
Omdat de stroken elk 1 meter breed zijn, is de lengte gelijk aan hun oppervlak in vierkante meter.
Als we deze waarden optellen, komen we uit op 33.28 vierkante meter.
Links van de y-as hebben we precies hetzelfde oppervlak, in totaal levert dit dus 66.56 vierkante meter.
Samen met de 2 kleine driehoekjes aan de uiteinden (elk 0.5 m bij 0.31 m, samen 0.16 vierkant meter) levert dit 66.56 + 0.16 = 66.72 vierkante meter, behoorlijk dicht bij de werkelijke waarde (ongeveer 66.6667, zie hierboven).

Het voordeel van deze methode is dat die voor elke kromme werkt.

Achtergrond informatie:
Deze methode wordt in de wiskunde in allerlei varianten gebruikt om de oppervlak onder een grafiek te berekenen, zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Riemannintegratie

Plaats reactie