Kromme gezocht, raaklijnen en raakpunten gegeven

VonkenJaap · Bericht door **VonkenJaap** » 25 okt 2017, 20:29

Hier gaat het om:

Afbeelding

Ten behoeve van een stuurwaarde die we lekker spoepel en geleidelijk willen laten verlopen zijn we op zoek naar een functie (vergelijking) die een rechte horizontale lijn (y = 0 voor x <= 0, dus richtingscoefficient is 0) mooi vloeiend over laat gaan in een rechte stijgende lijn (y = x + b voor x >= X1, waarbij altijd geldt b < 0 en richtingscoefficient is 1). Op de punten x=0 en x=X1 zijn de raakpunten en raaklijnen van de gezochte functie dus bekend:

X1: gegeven (iedere keer weer anders)
Y1: gegeven waarde van y als x = X1 (Y1 is ongeveer gelijk aan 0.1 a 0.3 X1, iedere keer weer anders)

Voor $x \leq 0$ geldt $y = 0$ (rechte horizontale lijn, richtingscoëfficiënt is 0)

Voor $0 \leq x \leq X1$ zoeken we de vergelijking van een kromme (richtingscoefficient loopt op van 0 naar 1)

Voor $x \geq X1$ geldt $y = x + (Y1-X1)$ (rechte lijn, richtingscoëfficiënt is 1)

Gevraagd:
Functie (y als waarde van x, X1 en Y1) voor de kromme (stuk parabool?) in gebied "0 <= x <= X1"“ waarbij de lijnstukken "x <= 0" en "x >= X1" vloeiend (d.w.z. zonder knik) naar elkaar overlopen (zie afbeelding).

Helaas komen wij er zelf niet uit hoewel we wel het idee hebben dat er voldoende gegevens bekend zijn om de gezochte functie te bepalen. $y = ax^n$ lijkt ons een prima uitgangspunt. Maar welke waarden moeten a en n dan hebben (uitgedrukt in X1 en Y1)? Als we op https://www.desmos.com/calculator/zukjgk9iry deze waarden empirisch bepalen vinden we ongeveer:

$( X1, Y1 ) = ( 4, 0.5 ) \rightarrow a \approx 8, n \approx 0.000008$

$( X1, Y1 ) = ( 4, 1 ) \rightarrow a \approx 4, n \approx 0.004$

Daar lijkt een verband in te zitten. Is er iemand die kan helpen?

Alvast bedankt!

Bericht door **arie** » 25 okt 2017, 23:12

Als

$f(x) = y = ax^n$

dan is de afgeleide functie

$f'(x) = y' = nax^{n-1} = nax^nx^{-1} = n \cdot f(x) \cdot x^{-1} = nyx^{-1}$

Het punt (0, 0) ligt op de grafiek van f, de afgeleide is nul als x=0, dat is OK.
Voor het punt (x1, y1) op de grafiek geldt:

$f(x_1) = y_1 = ax_1^n$

De afgeleide (= richtingscoëfficiënt van de raaklijn) in x = x1 moet 1 zijn:

$f'(x_1) = ny_1x_1^{-1} = 1$

Uit de laatste formule volgt:

$n = \frac{x_1}{y_1}$

en uit de eerste formule (n is nu bekend):

$a = \frac{y_1}{x_1^n}$

Voorbeeld:

Voor jullie 2 voorbeelden levert dit:

$(x_1,y_1) = (4, 0.5):$

$n = \frac{4}{0.5} = 8$

$a = \frac{0.5}{4^8} = \frac{1}{131072} \approx 0.000007629$

$(x_1,y_1) = (4, 1):$

$n = \frac{4}{1} = 4$

$a = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256} \approx 0.003906$

Ik denk dat jullie a en n verwisseld hebben.

VonkenJaap · Bericht door **VonkenJaap** » 26 okt 2017, 07:29

Fantastisch

We kwamen inderdaad in de buurt, maar die laatste stap was ons niet gegeven.
Heel erg bedankt voor je hulp. We gaan hier verder mee aan de slag en hopelijk kan ik binnenkort hier nog iets van het eindresultaat laten weten (als ik ergens een hekel aan heb dan is het aan mensen die zich makkelijk laten helpen op een forum en dan niet eens meer de moeite nemen om te reageren

).

PS Sorry, in alle opwinding heb ik de waarden van a en n inderdaad abusievelijk verwisseld in de twee voorbeelden in de oorspronkelijke post

.

Wiskundeforum

Kromme gezocht, raaklijnen en raakpunten gegeven

Kromme gezocht, raaklijnen en raakpunten gegeven

Re: Kromme gezocht, raaklijnen en raakpunten gegeven

Re: Kromme gezocht, raaklijnen en raakpunten gegeven