Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
NumNum
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 27 feb 2018, 18:58

Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door NumNum » 07 jun 2019, 12:15

Beste,

In praktijk heb ik deze vergelijking nodig in Excel om de viscositeit van vloeistoffen te schatten.
de vergelijking is volgende:
n=a.e^(b/(T-c))

met
n : Dynamische viscositeit in Pa.s
a,b,c : constanten
T: temperatuur in Kelvin
e: grondtal

Nu is mijn vraag hoe ik deze vergelijking het beste kan omzetten om a, b en c te bepalen als ik temperatuur en viscositeit heb.
Bedankt,

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3260
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door arie » 07 jun 2019, 16:02

Je hebt:

\(\eta = a \cdot e^{b/(T-c)}\)

Neem aan beide kanten de natuurlijke logaritme (dus de logaritme met grondtal e).
Let op dat deze in sommige programmeeromgevingen niet wordt aangeven met ln(x) maar met log(x),
terwijl wij log(x) doorgaans gebruiken voor de logaritme met grondtal 10.

\(ln(\eta) = ln \left(a \cdot e^{b/(T-c)}\right)\)

\(ln(\eta) = ln(a) + ln \left(e^{b/(T-c)}\right)\)

\(ln(\eta) = ln(a) + \frac{b}{T-c}\)

\((T-c) \cdot ln(\eta) = (T-c)\cdot ln(a) + b\)

\(T \cdot ln(\eta) - c \cdot ln(\eta) = T\cdot ln(a) - c \cdot ln(a)+ b\)

\(T\cdot ln(a) + b - c \cdot ln(a) + c \cdot ln(\eta) = T \cdot ln(\eta) \)

Als je drie verschillende tweetallen \((T_i, \eta_i)\) hebt (voor i = 1 .. 3) kunnen we hiervan een stelsel maken van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden:

Stel
\(A = ln(a)\)
\(B = b-c\cdot ln(a)\)
\(C = c\)
dan krijgen we:

\(\left\{\begin{matrix}T_1\cdot A + B + ln(\eta_1) \cdot C & = & T_1 \cdot ln(\eta_1) \\ T_2\cdot A + B + ln(\eta_2) \cdot C &=& T_2 \cdot ln(\eta_2) \\ T_3\cdot A + B + ln(\eta_3) \cdot C &=& T_3 \cdot ln(\eta_3) \end{matrix}\right.\)

Los dit stelsel op, en als je A, B en C weet, kan je daaruit a, b en c bepalen:
\(a = e^A\)
\(b = B + C\cdot A\)
\(c = C\)

Kom je zo verder?

NumNum
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 27 feb 2018, 18:58

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door NumNum » 07 jun 2019, 16:50

Hoi Arie,

Wel ik kan volgen tot aan het midden van je beredenering, ik weet alleen niet waar je opeens die A, B en C vandaan haalt.

Bij deze vergelijking gaat het erom om de viscositeit van een bepaalde vloeistof te raden, m.a.w. Als met 3 metingen doet van de vloeistof bijvoorbeeld: bij 0°C meet men een viscositeit van 20 Pa.s, bij 50°C meet men 13 Pa.s en bij 100°C 8 Pa.s, dan zou men eerst de a, b, c kunnen bepalen, om daarna de viscositeit op een gewenste temperatuur, bijv. 39°C berekenen.

Dus, ik zou eigenlijk gewoon uit de vergelijking, c moeten kunnen halen, dan b en dan a,
of omgekeerd.

a, b en, c zijn eigenlijk constanten en zullen dus ook verschillen bij elke andere vloeistof.


Bedankt,

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3260
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door arie » 07 jun 2019, 18:49

De variabelen A, B en C gebruik ik om van deze niet-lineaire vergelijking (uitgedrukt in a, b en c)

\(T\cdot ln(a) + b - c \cdot ln(a) + c \cdot ln(\eta) = T \cdot ln(\eta) \)

een vergelijking te maken die WEL lineair is.
Een lineair stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden is namelijk relatief eenvoudig op te lossen.
Bovenstaande vergelijking gaat door de gegeven substituties over in:

\(T\cdot \left[ln(a)\right] + \left[b - c \cdot ln(a)\right] + \left[c\right] \cdot ln(\eta) = T \cdot ln(\eta) \)

\(T\cdot \left[ A \right] + \left[ B\right] + \left[ C \right] \cdot ln(\eta) = T \cdot ln(\eta) \)

\(T\cdot A + B+ ln(\eta) \cdot C = T \cdot ln(\eta) \)

met jouw gegevens:

Code: Selecteer alles

T      n        ln(n)       T*ln(n)
0      20      2.9957        0.0000
50     13      2.5649      128.2475
100    8       2.0794      207.9442
wordt het stelsel

\(\left\{\begin{matrix}0\cdot A + B + 2.9957 \cdot C & = & 0 \\ 50\cdot A + B + 2.5649 \cdot C &=& 128.2475 \\ 100\cdot A + B + 2.0794 \cdot C &=& 207.9442 \end{matrix}\right.\)

Trek de eerste vergelijking af van zowel de 2e als de 3e vergelijking:

\(\left\{\begin{matrix}50\cdot A - 0.4308 \cdot C &=& 128.2475 \\ 100\cdot A - 0.9163 \cdot C &=& 207.9442
\end{matrix}\right.\)


Vermenigvuldig hiervan de eerste vergelijking met 2:

\(\left\{\begin{matrix}100\cdot A - 0.8616 \cdot C &=& 256.4950 \\ 100\cdot A - 0.9163 \cdot C &=& 207.9442
\end{matrix}\right.\)


Trek nu de tweede vergelijking af van de eerste:
\(0.0547 \cdot C = 48.5508\)

dus \(C = 887.58\)

waardoor uit het stelsel hierboven volgt dat

\(A = (256.4950 + 0.8616 \cdot C) / 100 = 10.212 \)

en uit het eerste stelsel:

\(B = - 2.9957 \cdot C = -2658.92\)

Nu terug naar a, b en c:

\(a = e^A = 27230\)

\(b = B + C\cdot A = 6405\)

\(c = C = 887.58\)


Je formule wordt dus:

\(\eta = 27230 \cdot e^{6405/(T-887.58)}\)

en voor \(T = 39^\circ \text{C}\) levert dit \(\eta = 14.35\)


Noot 1: wil je met de temperatuur in Kelvin rekenen, dan worden zowel T als c 273.15 groter.

Noot 2: Excel kan het stelsel van vergelijkingen voor je oplossen via de functies minverse en mmult,
zie bijvoorbeeld https://www.excel-easy.com/examples/sys ... tions.html
Voor ons levert dit:

Afbeelding

(waarbij je de gele velden vrij kan invullen, Excel rekent de rest voor je uit).

NumNum
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 27 feb 2018, 18:58

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door NumNum » 08 jun 2019, 11:44

Dag Arie,

Ik moet zeggen dat ik wat versteld sta.
Ik heb heel wat bijgeleerd en U hebt me hierbij heel veel geholpen.

Zelfs dat met Excel wist ik niet, terwijl ik me toch wel behoorlijk kan redden met Excel.

Ik had na mijn initiele post ook een boek gevonden, genaamd tribology enginering series, met onderaan een uiteenzetting van de formule in een simpel script voor een programma. Ik had dit geprobeerd om te zetten in excel, maar is me niet gelukt.
Indien U wenst kan ik dit wel even doormailen.

Ik ga dit alles overbrengen in men eigen excel werkmap, en dit in de praktijk uit testen.

Bedankt voor de snelle en leerrijke verduidelijking.

mvg,

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3260
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door arie » 09 jun 2019, 16:46

Als je meer wilt weten over dat script dan kan je het (of een plaatje / scan / foto daarvan) op dit forum plaatsen.
Wellicht kan iemand het hier dan verder toelichten.
Natuurlijk ben je op Wiskundeforum ook altijd welkom met andere vragen.

NumNum
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 27 feb 2018, 18:58

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door NumNum » 10 jun 2019, 15:20

Voor de geinteresseerden,


Zie hieronder een deel van het scriptje (input en berekeningen)

INPUT MAXIMUM TEMPERATURE "; TEMP (1)
INPUT "MIDDLE TEMPERATURE ";TEMP (2)
INPUT "MINIMUM TEMPERATURE 'I ; TEMP (3)
INPUT V I S C O S I T Y AT MAXIMUM TEMPERATURE ";VISC (1)
INPUT V I S C O S I T Y AT MIDDLE TEMPERATURE ";VISC (2)
INPUT V I S C O S I T Y AT MINIMUM TEMPERATURE ";VISC (3)

VOGEL EQUATION VISCOSITY = A EXP(B/(T-C))

COEFFC2 = (LOG(VISC(l))-LOG(VISC(2))) *(TEMP(3)-TEMP(l)) - (LOG(VISC(l))-LOG(VISC(3)) )*(TEMP(2)-TEMP(l))

COEFFCl = (LOG(VISC(l))-LOG(VISC(2)))*(TEMP(l)- TEMP (3) ) *(TEMP (2) +TEMP (1) ) LOG (VISC (3) ) ) * (TEMP (2) -TEMP (1) ) * (TEMP (1) +TEMP (3) )

COEFFCO = TEMP (1) ) *TEMP ( 1) *TEMP (2) (LOG (VISC (1) ) - LOG(V1SC (3) ) ) * (TEMP (2) -TEMP (1) ) *TEMP (1) *TEMP (3

TERMl = COEFFClA2 - 4*COEFFC2*COEFFCO
Cl =(-COEFFCl + TERM1".5) / (2*COEFFC2)
C2 =(-COEFFC1 - TERM1".5) / (2*COEFFC2)
B1 = -Cl*(TEMP(l)+TEME'(2)) + ClA2)/(TEMP(2)-TEMP(1))
B2 = (LOG(VISC(l))-LOG(VISC(2)))*(TEMP(l)*TEMP(2) - C2*(TEMP(l)+TEMP(2)) t C2^2)/(TEMP(2)-TEMP(l))
A1 = VISC (1) *EXP (-Bl/ (TEMP (1) -C1) )
A2 = VISC (1) *EXP (-B2/ (TEMP(1) -C2) )


Indien ik dit vertaal naar excel kom ik volgens de berekening van Arie hetzelfde uit voor constanten a en b, maar niet voor c.

Voorst heb ik nog een andere PDf gevonden met volgende berekeningen:
http://facta.junis.ni.ac.rs/me/me2006/me2006-03.pdf
Op pagina 3 en 4 kan je de gegevens terugvinden, maar de constanten a, b,c komen niet overeen als ik de waarden uit tabel 2.2 interpreteer.

Ik maak nu gebruik van Arie zijn berekeningen, maar ga dit zeker door middel van viscositeitsmetingen toetsen in praktijk.

mvg,

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3260
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door arie » 10 jun 2019, 18:44

Kan het zijn dat de c uit je formules in Kelvin gegeven is (dus 273.15 meer dan c in graden Celsius)?

Uit dat artikel krijg ik wel (nagenoeg) dezelfde getallen:

Afbeelding

De waarden in Table 2.3 zijn \(\mu_0 \cdot 100\) [Pas], dus die moet je nog door 100 delen.
De temperatuur in de formule is in Kelvin, dus de c daar is 273.15 hoger dan die voor graden Celsius.

Dan zie je in het plaatje hierboven op regel 18 t/m 21 de afleiding van \(\mu_0\).
In Table 2.2 staan \(\rho\) bij \(15^\circ \text{C}\) en de waarden van \(\nu_0\) bij de 3 temperaturen.
Via formule (2.2) bereken je \(\rho\) voor de gegeven temperaturen,
uit \(\nu_0\) en \(\rho\) volgen via formule (2.1) de \(\mu_0\) waarden die we gebruiken.
Resteert een factor 1000, die zal ontstaan door de eenheden van alle variabelen om te zetten naar SI-eenheden.

NumNum
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 27 feb 2018, 18:58

Re: Vergelijking Vogel–Fulcher–Tammann

Bericht door NumNum » 11 jun 2019, 06:10

Och ja, inderdaad,
ik heb me verkeken op de formule =a *(1-0.0007*(deltaT)), ik dacht dat het =a^(1-.......)was.

Plaats reactie