Hoek van een raaklijn cirkel berekenen

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
robvanmoorsel
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 08 dec 2019, 14:45

Hoek van een raaklijn cirkel berekenen

Bericht door robvanmoorsel » 08 dec 2019, 20:24

Goedenavond,

Alvast bedankt voor jullie reactie!

Ik zit met het volgende vraagstuk:
In de software voor de aansturing van een machine bouw ik de vorm van een dubbel getoogde bovenbalk van een houten poort parametrisch op. Deze bovenbalk moet ik draaien om het uit een rechte balk te kunnen frezen. Zie onderstaand 3D voorbeeld. Ik wil aan de hand van de bekende gegevens de te draaien hoek berekenen.

Bekende gegevens zijn:
M x,y | Middelpunt van de boog / cirkel van de tweede toog
r | De straal van de tweede toog
B x,y | Beginpunt / hoekpunt van de balk

Ik zou graag willen berekenen wat de hoek (H) is in graden tot een rechte lijn die over x loopt. Zodat ik weet hoeveel graden het werkstuk gekanteld moet worden om deze zo optimaal mogelijk uit een rechte balk te frezen.
Dit komt dit neer op de hoek tussen de rechte lijn en de raaklijn van de cirkel die naar het hoekpunt (B) loopt.

Hoe kan ik deze hoek berekenen?

Bijgaand een pdf met de voorbeelden

Voorbeeld waarden zijn:
Mx: 10
My: 5
r: 3
Bx: 5
By: 4

Als ik dit uit teken kom ik op een hoek van 47,35°

Het zou fijn zijn als iemand mij vooruit wil helpen! Alvast bedankt!

Afbeelding
Afbeelding

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hoek van een raaklijn cirkel berekenen

Bericht door arie » 09 dec 2019, 00:06

Afbeelding

Definieer:
\(P\) = het raakpunt
\(\alpha= \angle MBP\)
\(Q = (x_M, \; y_B)\)
\(\beta = \angle QBM\)

Dan is je gezochte hoek H:
\(\angle H = \alpha + \beta\)
gelijk aan
\(\angle H = \sin^{-1}\left( \frac{r}{BM}\right) + \sin^{-1}\left( \frac{MQ}{BM}\right)\)


Bewijs:

In de rode driehoek BPM is:
\(\angle BPM = 90^\circ\)
\(BM = \sqrt{(x_M-x_B)^2 + (y_M-y_B)^2}\)
\(MP = r\)
dus kunnen we alpha bepalen:
\(\alpha = \sin^{-1}\left( \frac{MP}{BM}\right) = \sin^{-1}\left( \frac{r}{\sqrt{(x_M-x_B)^2 \;+\; (y_M-y_B)^2}}\right)\)

In de blauwe driehoek BQM is:
\(\angle BQM = 90^\circ\)
\(MQ = y_M - y_B\)
\(BM\) hebben we hierboven al berekend
dus is ook bekend:
\(\beta = \sin^{-1}\left( \frac{MQ}{BM}\right)\)


In jouw voorbeeld:

\(BM = \sqrt{(10-5)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{26}\)
\(MP = 3\)
dus
\(\alpha = \sin^{-1}\left( \frac{3}{\sqrt{26}}\right) = 36.03989343030385678...\)

\(MQ = 5 - 4 = 1\)
dus
\(\beta = \sin^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{26}}\right) = 11.309932474020213...\)

Tenslotte:
\(\angle H = \alpha + \beta = 47.34982590432406987...\)

Plaats reactie