Stelsel oplossen met product van onbekenden

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Dorian
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 18 apr 2020, 09:22

Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door Dorian » 18 apr 2020, 09:25

Hallo,

Hoe zou je zo'n stelsel algebraïsch kunnen oplossen?

Alvast bedankt!
https://imgur.com/gallery/VUGby0n

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door arno » 18 apr 2020, 15:44

Stel dan is de eerste vergelijking te schrijven als , dus
Uit volgt dat en , dus de tweede vergelijking is net als de derde vergelijking uit te drukken in en x. Los nu het stelsel op dat bestaat uit de tweede en de derde vergelijking, waarbij en x de onbekenden zijn.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door SafeX » 18 apr 2020, 19:12

Hoe ben je aan deze vergelijkingen gekomen?
Met de gegeven weerstanden is er geen oplossing voor R4, R5 en R6.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door arie » 18 apr 2020, 21:23

Met het schema van arno kom ik uit op
R4 = 272533 / 1530 ~= 178.12614
R5 = 2997863 / 16930 ~= 177.07401
R6 = 272533 / 40 = 6813.325

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door SafeX » 20 apr 2020, 15:54

Dag Arie, bedankt voor je reactie.
De berekening nog eens nagelopen en jouw antwoorden kloppen,
Het venijn zat in het feit dat als we R4+R5+R6=R stellen, R6>R/2, terwijl R4<R/2 en R5<R/2.
Overigens ben ik benieuwd naar jouw berekening.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door arie » 21 apr 2020, 21:36

Mijn oplossing is veel omslachtiger dan die van arno, en gaat bovendien wat ver voor een vrij eenvoudig natuurkunde / elektronica vraagstuk.

Hier In ieder geval mijn route:

Het stelsel in een iets andere beschrijving:

\(\left\{\begin{matrix} a(r+s+t) & = & t(r+s)\\ b(r+s+t) & = & r(s+t)\\ c(r+s+t) & = & s(r+t) \end{matrix}\right.\)

ofwel

\(\left\{\begin{matrix} ar+as+at & = & rt+st\\ br+bs+bt & = & rs+rt\\ cr+cs+ct & = & rs+st \end{matrix}\right.\)

Los dit stelsel op naar r, s en rs:

\(\left\{\begin{matrix} (a-t)r &+&(a-t)s& & & = & -at\\ (b-t)r&+&bs &-&rs & = & -bt\\ cr&+&(c-t)s &-&rs & = & -ct \end{matrix}\right.\)

en de oplossingsvector v is:

\(\text{v} = \begin{bmatrix} a-t & a-t & 0\\ b-t & b & -1\\ c & c-t & -1 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} -at\\-bt\\ -ct \end{bmatrix}\)

Nu zijn s, r en sr uitgedrukt in ( t en de constanten a, b en c ).
Uit s * r = sr ofwel v[1] * v[2] - v[3] = 0 volgt dan t:

\(t = \frac{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}{2(a-b-c)}\)

en uit t (en a, b en c) volgen r = v[1] en s = v[2].

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door arie » 22 apr 2020, 10:19

En hier de volledige uitwerking via de methode van arno:

\(\left\{\begin{matrix} a(r+s+t) & = & t(r+s)\\ b(r+s+t) & = & r(s+t)\\ c(r+s+t) & = & s(r+t) \end{matrix}\right.\)

Definieer x = r + s

\(\left\{\begin{matrix} a(x+t) & = & xt\\ b(x+t) & = & r(s+t)\\ c(x+t) & = & s(r+t) \end{matrix}\right.\)

Uit de eerste vergelijking volgt: t = ax / (x-a).
Werk hiermee de t en s (= x - r) weg uit de 2e en 3e vergelijking:

\(\left\{\begin{matrix} bx+b\frac{ax}{x-a} & = & r(x - r +\frac{ax}{x-a})\\ cx+c\frac{ax}{x-a} & = & (x-r)(r+\frac{ax}{x-a}) \end{matrix}\right.\)

vermenigvuldig alles met (x-a):

\(\left\{\begin{matrix} bx(x-a)+abx & = & r((x - r)(x-a) +ax)\\ cx(x-a)+acx & = & (x-r)(r(x-a)+ax) \end{matrix}\right.\)

werk alle haakjes weg:

\(\left\{\begin{matrix} bx^2 & = & rx^2-r^2x-arx+ar^2+arx\\ cx^2 & = & rx^2 - arx +ax^2 -xr^2 +ar^2-arx \end{matrix}\right.\)

trek de eerste vergelijking af van de tweede vergelijking:

\((b-c)x^2 = 2arx - ax^2\)

x (= r + s) > 0 dus:

\((b-c)x = 2ar - ax\)

en

\(x = \frac{2ar}{a+b-c}\)

Substitueer dit resultaat in \(bx^2 = rx^2-r^2x+ar^2\), wat we weten uit het laatste stelsel hierboven.
Dit levert

\((b-r)(\frac{2ar}{a+b-c})^2 = ar^2-r^2\frac{2ar}{a+b-c}\)

deel alles door \(r^2\) en vermenigvuldig met \((a+b-c)^2\):

\((b-r)\cdot 4a^2 = a(a+b-c)^2-2ar(a+b-c)\)

en dit levert

\(r = \frac{(a+b-c)^2-4ab}{2(b-c-a)}\)

Uit r volgt de waarde van x:

\(x = \frac{2ar}{a+b-c}\)

vervolgens is

\(s = x-r\)

en

\(t = \frac{ax}{x-a}\)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsel oplossen met product van onbekenden

Bericht door SafeX » 22 apr 2020, 12:37

Arie, bedankt voor je uitvoerige uitwerkingen. Heel wat werk! Ik moet ze nog nalopen.

Mij viel de cyclische verwisseling in de formules rechts op.
Stel dus:
Dan volgt, als we de gegeven weerstanden in volgorde a, b en c noemen (opletten!):
Dit is een kwadratische verg in r6, oplossen naar r, geeft:

Evenzo:


En nu komt de 'trick', want tellen we de drie verg op, wat moeten we dan uit de twee mogelijkheden kiezen.
Gegeven de getallen a, b en c, volgt r6 groter dan r/2 en r5 en r4 kleiner.
Zodat optellen geeft:

Rangschikken levert:

Delen door r/2, links en rechts:

We hebben nu een verg in r, die we het best numeriek kunnen oplossen.
HP Prime geeft: r= 7170 en daarmee zijn r4, r5 en r6 eenvoudig uit te rekenen.

Plaats reactie