sinusoïde projectie van een lijnstuk berekenen?

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

sinusoïde projectie van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 01 jun 2020, 19:11

Hallo,
Ik tracht de volgende 2 problemen te ontrafelen (zie bijlage).
Op het bovenste plaatje in de bijlage:
Ik heb een lijnstuk A en een lijnstuk B, dat vanuit punt o loodrecht erop staat, dus als het ware de twee rechte zijden van een rechthoekige driehoek. Ik heb de schuine zijde van deze twee zijden in het oranje getekend, en op deze schuine zijde heb ik in het groen de bissectrice geconstrueerd (hoop ik) en de straal vanuit punt o naar punt y heb ik gebruikt om de (roze) curve te tekenen van de schuine zijde.
Probleem 1: Ik vroeg mij af of ik nu de sinus geconstrueerd heb?
Op het tweede plaatje:
Vraag 2 :Ik tracht nu de formule te vinden om de afstand uit te rekenen van het rode lijnstuk D dat de roze curve(=sinus?)raakt in het punt x op een afstand E (lijnstuk E) vanuit het hoekpunt o.
(En dit alles voor een gekromde perspectivische tekening te maken.)
Bedankt,
Vriendelijke Groeten,
Christophe.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door arie » 01 jun 2020, 19:56

Je bijlage is niet zichtbaar...
Plaatjes kan je hier niet direct plaatsen, maar moet je uploaden naar een website die daarvoor geschikt is,
bijvoorbeel https://imgbb.com/.
Je krijgt daar dan een link naar dat plaatje, en die link kan je hier plaatsen.
Zie voor meer uitleg zo nodig ook:
viewtopic.php?f=15&t=5039

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 01 jun 2020, 21:57

Hallo,
Een nieuwe poging...
Ik tracht de volgende 2 problemen te ontrafelen:
Eerste plaatje:
Afbeelding


Ik heb een lijnstuk A en een lijnstuk B, dat vanuit punt o loodrecht erop staat, dus als het ware de twee rechte zijden van een rechthoekige driehoek. Ik heb de schuine zijde van deze twee zijden in het oranje getekend, en op deze schuine zijde heb ik in het groen de bissectrice geconstrueerd (hoop ik) en de straal vanuit punt ô naar punt y heb ik gebruikt om de (roze) curve te tekenen van de schuine zijde.
Probleem 1: Ik vroeg mij af of ik nu de sinus geconstrueerd heb?

Het tweede plaatje:
Afbeelding

Vraag 2 :Ik tracht nu de formule te vinden om de afstand uit te rekenen van het rode lijnstuk D dat de roze curve(=sinus?)raakt in het punt x op een afstand E (lijnstuk E) vanuit het hoekpunt ô.
(En dit alles voor een gekromde perspectivische tekening te maken.)
Bedankt,
Vriendelijke Groeten,
Christophe.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door arie » 02 jun 2020, 00:27

Afbeelding

Ik ga uit van een gelijkbenige driehoek PQS in het plaatje hierboven, waarbij:
PS = SQ = c
PO = OQ = a
OS = b

NOOT: als PS ongelijk aan SQ is, meld dat dan, want dan wordt de berekening anders.

Hoek QOS is rechthoekig, dan geldt volgens de stelling van Pythagoras
\(c^2 = a^2 + b^2\)
ofwel
\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)

De groene lijnen uit jouw figuur zijn de middelloodlijnen van PS resp SQ in bovenstaand plaatje (ze gaan door het midden van het betreffende lijnstuk (PS resp SQ), en ze staan loodrecht op dat lijnstuk).

Het snijpunt van jouw groene lijnen is dan het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek PQS.
(zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Omgeschreven_cirkel)
De straal R daarvan bereken je via

\(R = \frac{a'b'c'}{\sqrt{(a'+b'+c')(-a'+b'+c')(a'-b'+c')(a'+b'-c')}}\)

waarbij a', b' en c' de lengtes van de driehoekszijden zijn, in ons geval is:
a' = PS = c
b' = SQ = c
c' = PQ = 2a
en dat geeft:

\(R = \frac{2ac^2}{\sqrt{(2c+2a)(2a)(2a)(2c-2a)}}\)

\(R = \frac{2ac^2}{4a\sqrt{c^2-a^2}}\)

\(R = \frac{2ac^2}{4ab}\)

\(R = \frac{c^2}{2b} = \frac{a^2+b^2}{2b}\)

Als we vervolgens vanuit punt H een gegeven afstand horizontaal naar rechts gaan, dan snijden (niet raken) we de cirkel in punt E.
Construeer een rechthoek HEGM, dan is
ME = R = de straal van de omgeschreven cirkel.
HE = MG
en weer volgens de stelling van Pythagoras (toegepast op driehoek MGE):
\(EG^2 = R^2 - MG^2\)
ofwel
\(EG^2 = R^2 - HE^2\)
ofwel
\(EG = \sqrt{R^2 - HE^2}\)
dus
\(EF = EG - FG = EG - OM = EG - (R - b)\)
ofwel
\(EF = \sqrt{R^2 - HE^2} + b - R\)

Voorbeeld:
zoals in dit plaatje:
a = 6
b = 4
HE = 1.5
dan is
\(R = \frac{a^2+b^2}{2b} = \frac{6^2+4^2}{2\times 4} = 6.5\)

\(EF = \sqrt{R^2 - HE^2} + b - R = \sqrt{6.5^2 - 1.5^2} + 4 - 6.5 \approx 3.82455532...\)


Bedoel je dit?

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 02 jun 2020, 05:46

Inderdaad, prachtig. De schoonheid van meetkunde en wiskunde in het algemeen.
Hartelijke dank.
Maar nog even terug naar mijn eerste vraag: is die omgeschreven cirkel de sinus want dat snap ik nog steeds niet?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door arie » 02 jun 2020, 07:12

De sinus (en cosinus en tangens etc) zijn begrippen uit de hoekmeetkunde (goniometrie), zie bijvoorbeeld:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Sinus_en_cosinus

Op die pagina geven ze onder de kop "geschiedenis"
https://nl.wikipedia.org/wiki/Sinus_en_ ... schiedenis
hoe je de sinus van een hoek kan bepalen via de constructie van een rechthoekige driehoek:

\(\sin(hoek \; ABC) = \sin \angle ABC = \sin \beta = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}\)

Hoeken geven we doorgaans aan met een griekse letter, punten met een hoofdletter, zijden (en lijnstukken en lijnen) met een kleine letter.


In ons probleem is
\(\sin \angle OQS = \frac{b}{c} = \frac{4}{\sqrt{52}} \approx 0.5547001962252\)
dus
\(\angle OQS = \text{asin}(0.5547001962252) \approx 33.69^{\circ}\)
en
\(\sin \angle OSQ = \frac{a}{c} = \frac{6}{\sqrt{52}} \approx 0.83205029433784\)
dus
\(\angle OSQ = \text{asin}(0.83205029433784) \approx 56.31^{\circ}\)

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 02 jun 2020, 07:30

Ach zo. Maar als ik het goed begrijp heb ik hem getekend d.m.v. de straal van de kruisende middelloodlijnen? Want die 2 lijnstukken vormen een hoek van 90°? Ik vraag dit enkel omdat ik curvilineair perspectief tracht te tekenen, d.m.v. een sinusoïde projectie. En eigenlijk gewoon tracht uit te rekenen aan de hand van de afstand van de parallellen t.o.v. de evenaar (op een bol).Vandaar mijn vraag.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door arie » 02 jun 2020, 15:41

Afbeelding

Hier een plaatje van een sinusoide projectie.

In het bovenste deel de aarde, bovenaanzicht (kijkend precies boven de noordpool),
als zwart punt het centrum van de noordpool (\(\varphi = 90^\circ\) NB),
in blauw de (noord-)poolcirkel (\(\varphi = 66.56^\circ\) NB),
in rood de kreeftskeerkring (\(\varphi = 23.44^\circ\) NB),
in groen de evenaar.

In het onderste deel de sinusoide projectie, gegeven door

\(x = s_x \cdot (\lambda - \lambda_0)\cdot \cos \varphi\)
\(y = s_y \cdot \varphi\)

(zie bijvoorbeeld https://en.wikipedia.org/wiki/Sinusoidal_projection)

Hierboven zijn
schalingsfactor \(s_x = \frac{10}{180^\circ}\) (180 lengtegraden worden afgebeeld op 10 eenheden)
schalingsfactor \(s_y = \frac{4}{90^\circ}\) (90 breedtegraden worden afgebeeld op 4 eenheden)
\(\varphi\) = breedtegraad van je punt
\(\lambda\) = lengtegraad van je punt
\(\lambda_0 = 0\) (de nulmeridiaan wordt hier geprojecteerd op de y-as)

Een aantal punten zijn ingetekend voor \(\lambda \in \{ 120^\circ \text{WL}, \;60^\circ \text{WL}, 0^\circ, 60^\circ \text{OL}, 120^\circ \text{OL} \}\)
(\(\lambda = 60^\circ WL\) in donkergrijs aangegeven)

Bedoel je dit?

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 02 jun 2020, 16:54

Inderdaad, waaruit blijkt dat mijn veronderstelling om dit d.m.v. een omgeschreven cirkel te tekenen, niet klopt (denk ik toch).

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 02 jun 2020, 17:00

Maar zover ik weet blijft de verhouding 1:2 gerespecteerd in de projectie.
Dus de centrale (nul-) meridiaan is de helft van evenaar in lengte.
En de parallellen blijven allemaal...wel, parallel, zoals zichtbaar op je afbeelding.
Dus de schalingsfactor x is dan 360°op 10 eenheden bijvoorbeeld.
En de schalingsfactor y 180° op 5.
Zie ik het juist?

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 02 jun 2020, 18:33

Hier een aanzet van een sinusoide projectie van een cirkel met 10 meridianen, met sx= 20 eenheden op 360° en sy=10 eenheden op 180°.
Voor de rest ben ik het spoor bijster.

<img src="https://i.ibb.co/WnnV2V0/sinus-projectie-aanzet-jpg.jpg" alt="sinus-projectie-aanzet-jpg" border="0"><img

Afbeelding

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door arie » 02 jun 2020, 21:54

Afbeelding

Hier een dwarsdoorsnede van de aarde, we kijken er nu van de zijkant tegenaan.
N=noordpool (bovenaan), M=middelpunt van de aarde.
Groen = evenaar, rood = kreeftskeerkring, blauw = poolcirkel.
De straal R van de aarde = MA = MB = MC = MN.
Voor de breedtegraden geldt:
evenaar = \(0^\circ\)
kreeftskeerkring = \(23.44^\circ = \angle AMB\)
poolcirkel = \(66.56^\circ = \angle AMC\)
Met die breedtegraden bepalen de maximale breedte van de projectie van de betreffende breedtegraad.

In dit plaatje loopt de evenaar in de projectie van -10 tot 10,
de kreeftskeerkring loopt dan van \(-10\cdot \cos(23.44^\circ) = -9.17477\) tot \(10\cdot \cos(23.44^\circ) = 9.17477\)
en de poolcirkel van \(-10\cdot \cos(66.56^\circ) = -3.977885\) tot \(10\cdot \cos(66.56^\circ) = 3.977885\)

Dit is de \(\cos \varphi\) uit de formule voor de x-coordinaat van de projectie.

Let wel dat dit de maximale range is per breedtegraad.
De 360 lengtegraden worden hier (voor elke breedtegraad) gelijkmatig over uitgesmeerd, zoals in mijn eerdere post.


Afbeelding

Hier een plaatje van de breedtegraden van \(0^\circ, \; 10^\circ \text{NB}, \; 20^\circ \text{NB}, ..., \; 80^\circ \text{NB}\).
In de projectie (onder) zie je dat de breedtegraden mooi gelijkmatig verdeeld zijn.
Kijken we echter voor dezelfde breedtegraden van boven naar de aarde (precies boven de noordpool N), dan zien we relatief veel van de gebieden met hoge breedtegraden en steed minder naarmate we dichter bij de evenaar komen.
Dit komt door de bolling van de aarde.

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 03 jun 2020, 07:25

Prachtig, hartelijke dank.
Hoe teken jij overigens die mooie kromme van de projectie?
Is dat d.m.v. een Bezier-curve?
Of wordt dat automatisch gegenereerd door jouw computerprogramma?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door arie » 03 jun 2020, 11:35

De omhullende van de projectie is een combinatie van 2 functies:
Werkt je rekenmachine/computerprogramma met radialen:
Het positieve (bovenste) deel van de omhullende:
y = (2*b/pi) * acos(abs(x)/a)
Het negatieve (onderste) deel van de omhullende:
y = - (2*b/pi) * acos(abs(x)/a)
Met:
pi = 3.14159... (= constante)
en in de projectie:
a = maximale waarde op x-as
b = maximale waarde op y-as

In bovenstaande (en onderstaande) loopt x van -a tot a.

Werkt je rekenmachine/computerprogramma met graden:
Het positieve (bovenste) deel van de omhullende:
y = (b/90) * acos(abs(x)/a)
Het negatieve (onderste) deel van de omhullende:
y = - (b/90) * acos(abs(x)/a)


PS:
abs(x) = absolute waarde van x (="minteken (indien aanwezig) weglaten")
abs(2) = 2
abs(0) = 0
abs(-3) = 3

acos() = de inverse functie van cos(x), op rekenmachines vaak een \(\left[\cos^{-1}\right]\)-toets

Couperus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 29
Lid geworden op: 01 okt 2010, 09:12

Re: sinus van een lijnstuk berekenen?

Bericht door Couperus » 03 jun 2020, 13:48

Zeer interessant, nogmaals dank.

Plaats reactie