In een rechthoekige projectie met hoogte : breedte = 1 : 2 (bovenste plaatje) hebben alle breedtegraden en lengtegraden dezelfde eenheid, en staan alle lengte- en breedtegraden loodrecht op elkaar.
Die lijnen vormen dan een rooster zoals op gebruikelijk ruitjespapier.
Als we de nul-meridiaan als x-as kiezen (van noordpool = 90 naar zuidpool = -90) en de evenaar als y-as (van -180 (west) naar 180 (oosterlengte)), dan kunnen we net als op ruitjespapier lijnen beschrijven door de formule
y = a*x + b
met a en b constanten.
In bovenstaand voorbeeld is
-- de groene lijn: y = (1/2)*x, dus als x = 60ºNB, dan is y = (1/2)*60º = 30ºOL
-- de rode lijn: y = x, dus als x = 60ºNB, dan is y = 60ºOL
-- de blauwe lijn: y=2x, dus als x=80ºNB, dan is y = 2*80º = 160ºOL
De constante a is de richtingscoefficient van de lijn, dit is tevens de tangens van de hoek van die lijn met de positieve x-as (dit laatste is in ons geval de nulmeridiaan van evenaar tot noordpool).
Deze hoeken zijn voor bovenstaande lijnen dus:
-- groen:
\(\text{atan}(\frac{1}{2}) = 26.565^\circ\)
-- rood:
\(\text{atan}(1) = 45^\circ\)
-- blauw:
\(\text{atan}(2) = 63.4349^\circ\)
De rode lijn maakt overal op aarde een hoek van 45º met de lijn van elke lengtegraad,
en een hoek van 90º - 45º = 45º met elke breedtegraad.
Deze rode lijn valt samen met de diagonaal uit de vorige post.
In de onderste helft van het plaatje zie je de sinusoide projectie van bovenstaande lijnen.
Hierin blijft de x-coordinaat gelijk, maar vermenigvuldigen we y met de cosinus van de breedtegraad = x.
De lijn in de vorm
y = a*x + b
wordt in de sinusoide projectie dan
y = (a*x + b) * cos(x)
-- voor de groene lijn geeft dit de functie
\(y = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \cos(x)\)
-- voor de rode lijn geeft dit de functie
\(y = x \cdot \cos(x)\)
-- voor de blauwe lijn geeft dit de functie
\(y = 2 \cdot x \cdot \cos(x)\)
We kunnen
elke relatie tussen lengtegraad y en breedtegraad x in het rechthoekig rooster zo omzetten naar de sinusoide projectie van die relatie.
Hier bijvoorbeeld een cirkel met straal 30º rond Sint Maarten (18ºNB, 63ºWL):
\(y = -63 \pm \sqrt{30^2 - (x-18)^2}\)
die in de projectie eronder gegeven wordt door
\(y = \left(-63 \pm \sqrt{30^2 - (x-18)^2}\right) \cdot \cos(x)\)