As translatie hoek berekenen Dodecaeder

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Cuprani
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 06 nov 2020, 14:30

As translatie hoek berekenen Dodecaeder

Bericht door Cuprani » 06 nov 2020, 15:50

Ik wil in 3D een as transleren over de ribben van een dodecaeder.

Gegevens dodecaeder:
12 gelijke 5-hoeken.
30 ribben.
20 hoeken

Inwendige hoek van de 5-hoek is 108°
Hoek tussen 2 vlakken is 116,5651°
Hoek tussen 1 rib en een vlak is 121,7175°
(Zie wikipedia voor de exacte hoekberekening.)

Ik ben even creatief geweest met Paint om het probleem te verbeelden.
Afbeelding

Ik wil het profiel, wat nu op 1 rib ligt, transleren naar de 2 aangrenzende ribben.

Rotatie punt is het snijpunt van 3 ribben.
Ratatie orientatie (x, y, z-richting) heb ik uitgetekend in de afbeelding hierboven en is loodrecht op het profiel.

Nu is de vraag; hoeveel graden moet er geroteerd worden in alle richtingen om het betreffende profiel op de aangrenzende 2 ribben te krijgen?

Kan dit bepaald worden met een formule?
Ik zou namelijk graag willen dat wanneer ik dit profiel 30 keer op dezelfde manier transleer, dat ik aan de andere zijde van de dodecaeder ook nog steeds uit kom :D
Dus als er een exacte benadering is om deze hoeken te berekenen, dan zou ik heel erg geholpen zijn!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: As translatie hoek berekenen Dodecaeder

Bericht door arie » 08 nov 2020, 10:19

Een aantal vragen:

1. Je spreekt over een translatie, maar bedoel je wellicht een rotatie van een rand (=edge) van de dodecaeder, in het vlak van een zijvlak om het middelpunt van de vijfhoek in dat zijvlak?
En zodanig dat die rand dan op een aangrenzende rand komt te liggen?

2. Hoe is de orientatie van de dodecaeder (het eenvoudigste zou zijn zoals hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_d ... oordinates)

3. Wat is de rotatievolgorde over de rooster-assen: eerst om de x-as, dan om de y-as, tenslotte om de z-as?
(deze volgorde is van belang).

4. Wil je een exacte oplossing (met wortels erin) of heb je genoeg aan een benadering (met bijv. 20 decimalen)?

Cuprani
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 06 nov 2020, 14:30

Re: As translatie hoek berekenen Dodecaeder

Bericht door Cuprani » 12 nov 2020, 07:55

arie schreef:
08 nov 2020, 10:19
1. Je spreekt over een translatie, maar bedoel je wellicht een rotatie van een rand (=edge) van de dodecaeder, in het vlak van een zijvlak om het middelpunt van de vijfhoek in dat zijvlak?
En zodanig dat die rand dan op een aangrenzende rand komt te liggen?
Dat komt op hetzelfde neer. Alleen de rotatie komt echt alleen vanuit het getekende profiel (zie plaatje rechts bovenin van mijn foto). Het is dan inderdaad gewoon een rotatie. Ik noemde het translatie omdat het complete profiel in 3 richtingen moet verplaatsen. Maar wanneer het middelpunt gepakt wordt vanaf de plek waar de 3 ribben samenkomen dan spreek je natuurlijk alleen over rotatie.
arie schreef:
08 nov 2020, 10:19
Een aantal vragen:
2. Hoe is de orientatie van de dodecaeder (het eenvoudigste zou zijn zoals hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_d ... oordinates)
Zodra ik in mijn 3D programma een rotatie start, kan ik zelf aangeven hoe de orientatie is. (Omdat ik dit zelf aanpas wijkt deze dan dus af van het voorwerp zelf in het tekenveld.) Daarom dat ik voor de orientatie heb "gekozen" zoals in de foto hierboven. Hier zie je 3 plaatjes (X, Y en Z) om aan te geven welke beweging de rotatie in X, Y en Z geeft. Dit is geinitieerd loodrecht vanaf het aanzicht vanuit het profiel zelf. Ik kan ook een orientatie kiezen loodrecht op een vlak van de dodecaeder.
arie schreef:
08 nov 2020, 10:19
3. Wat is de rotatievolgorde over de rooster-assen: eerst om de x-as, dan om de y-as, tenslotte om de z-as?
(deze volgorde is van belang).

4. Wil je een exacte oplossing (met wortels erin) of heb je genoeg aan een benadering (met bijv. 20 decimalen)?
De volgorde kan ik zelf bepalen, dus maakt mij niet uit.
Een exacte oplossing kan ik helaas niet invoeren in mijn 3D programma, maar ik kan wel heel veel decimalen invoeren.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: As translatie hoek berekenen Dodecaeder

Bericht door arie » 15 nov 2020, 17:05

In dit artikel vind je de omzetting van een willekeurige rotatiematrix naar de Euler hoeken die je zoekt:
https://www.gregslabaugh.net/publications/euler.pdf

Voordat we die kunnen gebruiken moeten we eerst die rotatiematrix M bepalen van de rotatie die wij uitvoeren.

Kies een assenstelset met de oorsprong O in het zwaartepunt van de dodecaeder.
Alle 20 hoekpunten liggen dan op een bol met middelpunt O en een straal R.

In dit plaatje is A zo'n hoekpunt:

Afbeelding

We zoeken dan de rotaties om de as OA, met een rotatiehoek \(\rho\), met
\(\rho = 120^\circ\) en \(\rho = 240^\circ = -120^\circ\) in het bijzonder.

Hiervoor kunnen we de basisrotaties om de x-, y- en z-as gebruiken zoals gegeven op pagina 1 van bovenstaand artikel:
Als A = [xa, ya, za], dan is P de loodrechte projectie van A op het x-y-vlak: P = [xa, ya, 0].
We roteren eerst alles om de z-as, zodanig dat P op de positieve x-as komt te liggen: rotatiematrix \(R_{z,-\lambda}\), met \(\lambda\) te bepalen uit xa en ya.
Dan roteren we alles om de y-as, waarbij OA op de z-as komt te liggen: \(R_{y, - \mu }\), met \(\mu\) te bepalen uit za en straal R (=|OA|).
Dan kunnen we onze rotatie uitvoeren: een hoek van \(\rho\) om de z-as: \(R_{z, \rho}\)
En tenslotte moeten we alles weer terugdraaien, zodat A weer op zijn oorspronkelijke plaats komt te liggen:
eerst \(R_{y, \mu }\), dan \(R_{z,\lambda}\)

Onze matrix M wordt dan het product van deze 5 matrices:

\(M = R_{z,\lambda} \cdot R_{y, \mu } \cdot R_{z, \rho} \cdot R_{y, - \mu } \cdot R_{z,-\lambda}\)

Mocht jouw programma niet kunnen rekenen met matrices, dan is hier het resultaat:

Als \(M = \begin{bmatrix} m_{1,1} & m_{1,2} & m_{1,3}\\ m_{2,1} & m_{2,2} & m_{2,3}\\ m_{3,1} & m_{3,2} & m_{3,3} \end{bmatrix}\)

dan is

\(m_{1,1} = (\cos(\rho)*\cos(\mu)^2 + \sin(\mu)^2)*\cos(\lambda)^2 + \cos(\rho)*\sin(\lambda)^2;\)
\(m_{1,2} = (\cos(\rho)*\cos(\mu)^2 + \sin(\mu)^2 - \cos(\rho))*\sin(\lambda)*\cos(\lambda) - \sin(\rho)*\cos(\mu);\)
\(m_{1,3} = (1 - \cos(\rho))*\sin(\mu)*\cos(\mu)*\cos(\lambda) + \sin(\rho)*\sin(\mu)*\sin(\lambda);\)

\(m_{2,1} = \sin(\rho)*\cos(\mu) + (\cos(\rho)*\cos(\mu)^2 + \sin(\mu)^2 - \cos(\rho))*\sin(\lambda)*\cos(\lambda);\)
\(m_{2,2} = \cos(\rho)*\cos(\lambda)^2 + (\cos(\rho)*\cos(\mu)^2 + \sin(\mu)^2)*\sin(\lambda)^2;\)
\(m_{2,3} = (1 - \cos(\rho))*\sin(\mu)*\cos(\mu)*\sin(\lambda) - \sin(\rho)*\sin(\mu)*\cos(\lambda);\)

\(m_{3,1} = (1 - \cos(\rho))*\sin(\mu)*\cos(\mu)*\cos(\lambda) - \sin(\rho)*\sin(\mu)*\sin(\lambda);\)
\(m_{3,2} = \sin(\rho)*\sin(\mu)*\cos(\lambda) + (1 - \cos(\rho))*\sin(\mu)*\cos(\mu)*\sin(\lambda);\)
\(m_{3,3} = \cos(\mu)^2 + \cos(\rho)*\sin(\mu)^2;\)


Nu we M kennen, kunnen we het algoritme in bovenstaand artikel (pag. 5, Figure 1) gebruiken om de Euler hoeken te bepalen.


Voorbeeld:

Neem de figuur van https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_d ... oordinates:

Afbeelding

De coordinaten van een aantal hoekpunten zijn:

Code: Selecteer alles

A = [ 0.618,  0,     1.618 ]
B = [-0.618,  0,     1.618 ]
C = [ 1,     -1,     1     ]
D = [ 1,      1,     1     ]
E = [ 1.618,  0.618, 0     ]
F = [ 0,      1.618, 0.618 ]
Willen we deze dodecaeder roteren om as OA over \(\rho = 120^\circ\), dan krijgen we:

\(M = \begin{bmatrix} -0.30901699437494742410 & -0.80901699437494742410 & 0.50000000000000000000\\ 0.80901699437494742410 & -0.50000000000000000000 & -0.30901699437494742410\\ 0.50000000000000000000 & 0.30901699437494742410 & 0.80901699437494742410\end{bmatrix}\)

en dit levert 2 mogelijkheden voor de Euler-hoeken (beide eerst roteren om de x-as, dan om de y-as, dan om de z-as):

\(\psi_1 = 20.905157447889299033\)
\(\theta_1 = -30.000000000000000000\)
\(\phi_1 = 110.90515744788929903\)

\(\psi_2 = -159.09484255211070097\)
\(\theta_2 = 210.00000000000000000\)
\(\phi_2 = -69.094842552110700967\)


Ter controle:
\(B = [-0.61803398874989484820, 0, 1.6180339887498948482]\)
B wordt afgebeeld op \(M \cdot B = C = [1.0000000000000000000, -1.0000000000000000000, 1.0000000000000000000]\)
B 2 keer roteren geeft \(M^2 \cdot B = D = [1.0000000000000000000, 1.0000000000000000000, 1.0000000000000000000]\)
B 3 keer roteren geeft \(M^3 \cdot B = B = [-0.61803398874989484820, -1.3943356759474202090\cdot 10^{-38}, 1.6180339887498948482]\)
Zoals verwacht keert B na 3 rotaties (binnen de machineprecisie) weer terug op zijn oude positie.

Eveneens geldt dat
\(R_{z,\phi_1} \cdot R_{y,\theta_1} \cdot R_{x,\psi_1} = M\)
en
\(R_{z,\phi_2} \cdot R_{y,\theta_2} \cdot R_{x,\psi_2} = M\)


Hier nog wat code die je mogelijk kan gebruiken:

Code: Selecteer alles

\\------------------------------------------------------------
\\ HULPFUNCTIES:
\\------------------------------------------------------------

\\ afstand tussen punten P en Q:
dist(P,Q)={
sqrt((P[1]-Q[1])^2 + (P[2]-Q[2])^2 + (P[3]-Q[3])^2)
}


\\ bepaal de hoek die vector [x, y] maakt met positieve x-as:
\\ resultaat: -pi < hoek <= pi
atan2(y,x)={
if(x==0,
  if(y==0, return(0));
  if(y>0, 
    return(Pi/2);
    ,\\else: y<0:
    return(-Pi/2);
    );
  );

if(x<0,
  if(y>=0,
    return(Pi+atan(y/x));
    ,\\else: y<0:
    return(-Pi+atan(y/x));
    );
  ,\\else: x>0: 
  return(atan(y/x));
  );
}

\\------------------------------------------------------------
\\ MAAK DE ROTATIEMATRIX M VOOR ROTATIE rho OM ROTATIEAS OA:
\\------------------------------------------------------------

makematM(A, rho)={
local(lambda, R, mu, cr, sr, sL, cL, sM, cM); \\ locale variabelen

\\ bepaal de hoeken van de rotatie-as:
lambda=atan2(A[2],A[1]);
R=dist([0,0,0], A);
mu=acos(A[3]/R); 

\\ goniometrische waarden:
sr=sin(rho);
cr=cos(rho);
sL=sin(lambda);
cL=cos(lambda);
sM=sin(mu);
cM=cos(mu);

\\ bepaal rotatiematrix M:
M=matrix(3,3);

M[1,1] = (cr*cM^2 + sM^2)*cL^2 + cr*sL^2;
M[1,2] = (cr*cM^2 + sM^2 - cr)*sL*cL - sr*cM;
M[1,3] = (1 - cr)*sM*cM*cL + sr*sM*sL;

M[2,1] = sr*cM + (cr*cM^2 + sM^2 - cr)*sL*cL;
M[2,2] = cr*cL^2 + (cr*cM^2 + sM^2)*sL^2;
M[2,3] = (1 - cr)*sM*cM*sL - sr*sM*cL;

M[3,1] = (1 - cr)*sM*cM*cL - sr*sM*sL;
M[3,2] = sr*sM*cL + (1 - cr)*sM*cM*sL;
M[3,3] = cM^2 + cr*sM^2;

}


\\------------------------------------------------------------
\\ BEPAAL DE EULER HOEKEN VOOR MATRIX M:
\\------------------------------------------------------------

eulerangles()={
if(M[3,1]!=1 && M[3,1]!=-1,
  numsol=2; \\ aantal oplossingen = 2
  tt1=-asin(M[3,1]);
  tt2=Pi-tt1;
  ps1=atan2(M[3,2]/cos(tt1), M[3,3]/cos(tt1));
  ps2=atan2(M[3,2]/cos(tt2), M[3,3]/cos(tt2));
  ph1=atan2(M[2,1]/cos(tt1), M[1,1]/cos(tt1));
  ph2=atan2(M[2,1]/cos(tt2), M[1,1]/cos(tt2));
  , \\else:
  numsol=1; \\ aantal oplossingen = 1
  ph1=0;
  if(M[3,1]==-1,
    tt1=Pi/2;
    ps1=ph1+atan2(M[1,2], M[1,3]);
    ,\\else:
    tt1=-Pi/2;
    ps1=-ph1+atan2(-M[1,2], -M[1,3]);
    );
  );
return(numsol);
}


\\------------------------------------------------------------
\\ TOON DE EULER HOEKEN (deg==1 <=> IN GRADEN):
\\------------------------------------------------------------

printeuler(deg)={
eulerangles(); \\ bereken de Euler hoeken
if(deg==0, 
  c=1;          \\ hoeken in radialen
  , \\else:
  c=180.0/Pi;   \\ hoeken in graden
  );

if(abs(ps1)<1.E-36, ps1=0);
if(abs(tt1)<1.E-36, tt1=0);
if(abs(ph1)<1.E-36, ph1=0);

print("---------------------------------------------------");
print("Rx: ps1 = ", ps1*c);
print("Ry: tt1 = ", tt1*c);
print("Rz: ph1 = ", ph1*c);
print("---------------------------------------------------");
if(numsol>1,
  if(abs(ps2)<1.E-36, ps2=0);
  if(abs(tt2)<1.E-36, tt2=0);
  if(abs(ph2)<1.E-36, ph2=0);
  print("Rx: ps2 = ", ps2*c);
  print("Ry: tt2 = ", tt2*c);
  print("Rz: ph2 = ", ph2*c);
  print("---------------------------------------------------");
  );
}



\\------------------------------------------------------------
\\ CHECK: Rz * Ry * Rx = M ?
\\------------------------------------------------------------

checkrot()={
Rx=[1,0,0;   0,cos(ps1),-sin(ps1);    0,sin(ps1),cos(ps1)];
Ry=[cos(tt1),0,sin(tt1);   0,1,0;   -sin(tt1) ,0,cos(tt1)];
Rz=[cos(ph1),-sin(ph1),0;   sin(ph1),cos(ph1),0;   0,0,1];
Rz*Ry*Rx
}

checkrot2()={
Rx=[1,0,0;   0,cos(ps2),-sin(ps2);    0,sin(ps2),cos(ps2)];
Ry=[cos(tt2),0,sin(tt2);   0,1,0;   -sin(tt2) ,0,cos(tt2)];
Rz=[cos(ph2),-sin(ph2),0;   sin(ph2),cos(ph2),0;   0,0,1];
Rz*Ry*Rx
}


\\------------------------------------------------------------
\\ MAIN PROGRAM:
\\------------------------------------------------------------

\\ MAIN:
{
gr=(1+sqrt(5))/2;  \\ definieer: gr = golden ratio

A=[1/gr,0,gr];
B=[-1/gr,0,gr];

\\ maak rotatiematrix M voor rotatie om OA, over 120 graden:
makematM(A,120*Pi/180);

\\ toon de Euler hoeken in graden:
printeuler(1);

\\ toon punt B na 0, 1, 2 resp. 3 rotaties M:
print("      B = ", B);
print("  M * B = ", M*B~);
print("M^2 * B = ", M^2*B~);
print("M^3 * B = ", M^3*B~);

}

Kom je hiermee verder?

Plaats reactie