breking van een lichtstraal

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
FJM
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 21 jan 2021, 22:52

breking van een lichtstraal

Bericht door FJM » 30 jan 2021, 21:54

Mijn praktijkprobleem is het breken van een lichtstraal van glas naar lucht.
Ik wil weten welke hoek mijn lens moet hebben bij een bepaalde totale brekingshoek van de lichtstraal.
Formule voor breking van glas naar lucht: 1/1,5 = sin (i) / sin (r)
De totale brekingshoek van de lichtstraal is in dit geval y = 180+i-r

Ik heb dus twee formules, nu kan ik deze functies in elkaar schuiven en met mijn rekenmachine slove of plot gebruiken.

sin i = (1/1,5) * sin (r)
sin r = sin (i) / (1/1,5)

y=(180-r)+(boogsin(sin (r)*(1/1,5)))
y=180+i-(boogsin(sin(i)/(1/1,5)))

Bijv. (y=161.15 geeft i=30,2672 en r=49,1172)

Maar ik wil graag de oplossing in de vorm van een formule met 'x' (in dit geval i of r) als functie van 'y' om in een model te plaatsen. Mijn vraag is hoe krijg ik deze formule(s)?

Alvast dank!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3584
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: breking van een lichtstraal

Bericht door arie » 31 jan 2021, 09:39

.
Hier stap voor stap de afleiding van i als functie van y:

y=180+i-(boogsin(sin(i)/(1/1,5)))

y = 180 + i - boogsin(1.5*sin(i))

y - i - 180 = - boogsin(1.5*sin(i))

i - y + 180 = boogsin(1.5*sin(i))

sin(i - y + 180) = sin(boogsin(1.5*sin(i)))

sin(i - y + 180) = 1.5*sin(i)

wegens: sin(α+180)=-sin(α):
- sin(i - y) = 1.5*sin(i)

- sin(i - y) - 1.5*sin(i) = 0

sin(i - y) + 1.5*sin(i) = 0

wegens: sin(α + β) = sin(α)*cos(β) - cos(α)*sin(β):
sin(i)*cos(y) - cos(i)*sin(y) + 1.5*sin(i) = 0

sin(i)*[1.5 + cos(y)] - cos(i)*sin(y) = 0

sin(i)*[1.5 + cos(y)] = cos(i)*sin(y)

sin(i) / cos(i) = sin(y) / (1.5 + cos(y))

tan(i) = sin(y) / (1.5 + cos(y))

i = boogtan( sin(y) / (1.5 + cos(y)) )


Lukt het je om op dezelfde manier de afleiding te maken voor r als functie van y?
Op welke formule kom je dan uit?
Kloppen de formules als je de waarden uit je voorbeeld invult?

FJM
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 21 jan 2021, 22:52

Re: breking van een lichtstraal

Bericht door FJM » 01 feb 2021, 00:43

Beste Arie,

Bedankt voor je heldere uitwerking!

De tweede berekening:

y = 180 - r + boogsin( 1/1,5 * sin(r))
y + r - 180 = boogsin( 1/1,5 * sin(r))
sin(y + r - 180) = sin(boogsin( 1/1,5 * sin(r)))
sin(y + r - 180) = 1/1,5 * sin(r)

wegens: sin(α-180)=-sin(α):

-sin(y + r) = (1/1,5)*sin(r)
-sin(y + r) - (1/1,5)*sin(r) = 0
sin(y + r) + (1/1,5)*sin(r) = 0

wegens: sin(α + β) = sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β):

sin(r)*cos(y) + cos(r)*sin(y) + (1/1,5)*sin(r) = 0
sin(r)*[ 1/1,5 + cos(y)] + cos(r)*sin(y) = 0
sin(r)*[ 1/1,5 + cos(y)] = -cos(r)*sin(y)
sin (r) / -cos (r)= sin(y) / ( 1/1,5 + cos(y))

-tan (r) = sin (y) / ( 1/1,5 + cos(y))
tan (-r) = sin (y) / ( 1/1,5 + cos(y))
-r = boogtan(sin(y) / ( 1/1,5 + cos(y)))
r = -boogtan(sin(y) / ( 1/1,5 + cos(y)))

Het klopt met mijn voorbeeld.
r = -boogtan(sin(161.15) / ( 1/1,5 + cos(161.15)))= 49,1172

Ik ben heel blij met de oplossingen! Nogmaals dank!

Met vriendelijke groet,

FJM

Plaats reactie