Wiskundeforum

Mijn praktijkprobleem is het breken van een lichtstraal van glas naar lucht.
Ik wil weten welke hoek mijn lens moet hebben bij een bepaalde totale brekingshoek van de lichtstraal.
Formule voor breking van glas naar lucht: 1/1,5 = sin (i) / sin (r)
De totale brekingshoek van de lichtstraal is in dit geval y = 180+i-r

Ik heb dus twee formules, nu kan ik deze functies in elkaar schuiven en met mijn rekenmachine slove of plot gebruiken.

sin i = (1/1,5) * sin (r)
sin r = sin (i) / (1/1,5)

y=(180-r)+(boogsin(sin (r)*(1/1,5)))
y=180+i-(boogsin(sin(i)/(1/1,5)))

Bijv. (y=161.15 geeft i=30,2672 en r=49,1172)

Maar ik wil graag de oplossing in de vorm van een formule met 'x' (in dit geval i of r) als functie van 'y' om in een model te plaatsen. Mijn vraag is hoe krijg ik deze formule(s)?

Alvast dank!

.
Hier stap voor stap de afleiding van i als functie van y:

y=180+i-(boogsin(sin(i)/(1/1,5)))

y = 180 + i - boogsin(1.5*sin(i))

y - i - 180 = - boogsin(1.5*sin(i))

i - y + 180 = boogsin(1.5*sin(i))

sin(i - y + 180) = sin(boogsin(1.5*sin(i)))

sin(i - y + 180) = 1.5*sin(i)

wegens: sin(α+180)=-sin(α):
- sin(i - y) = 1.5*sin(i)

- sin(i - y) - 1.5*sin(i) = 0

sin(i - y) + 1.5*sin(i) = 0

wegens: sin(α + β) = sin(α)*cos(β) - cos(α)*sin(β):
sin(i)*cos(y) - cos(i)*sin(y) + 1.5*sin(i) = 0

sin(i)*[1.5 + cos(y)] - cos(i)*sin(y) = 0

sin(i)*[1.5 + cos(y)] = cos(i)*sin(y)

sin(i) / cos(i) = sin(y) / (1.5 + cos(y))

tan(i) = sin(y) / (1.5 + cos(y))

i = boogtan( sin(y) / (1.5 + cos(y)) )


Lukt het je om op dezelfde manier de afleiding te maken voor r als functie van y?
Op welke formule kom je dan uit?
Kloppen de formules als je de waarden uit je voorbeeld invult?

Beste Arie,

Bedankt voor je heldere uitwerking!

De tweede berekening:

y = 180 - r + boogsin( 1/1,5 * sin(r))
y + r - 180 = boogsin( 1/1,5 * sin(r))
sin(y + r - 180) = sin(boogsin( 1/1,5 * sin(r)))
sin(y + r - 180) = 1/1,5 * sin(r)

wegens: sin(α-180)=-sin(α):

-sin(y + r) = (1/1,5)*sin(r)
-sin(y + r) - (1/1,5)*sin(r) = 0
sin(y + r) + (1/1,5)*sin(r) = 0

wegens: sin(α + β) = sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β):

sin(r)*cos(y) + cos(r)*sin(y) + (1/1,5)*sin(r) = 0
sin(r)*[ 1/1,5 + cos(y)] + cos(r)*sin(y) = 0
sin(r)*[ 1/1,5 + cos(y)] = -cos(r)*sin(y)
sin (r) / -cos (r)= sin(y) / ( 1/1,5 + cos(y))

-tan (r) = sin (y) / ( 1/1,5 + cos(y))
tan (-r) = sin (y) / ( 1/1,5 + cos(y))
-r = boogtan(sin(y) / ( 1/1,5 + cos(y)))
r = -boogtan(sin(y) / ( 1/1,5 + cos(y)))

Het klopt met mijn voorbeeld.
r = -boogtan(sin(161.15) / ( 1/1,5 + cos(161.15)))= 49,1172

Ik ben heel blij met de oplossingen! Nogmaals dank!

Met vriendelijke groet,

FJM