Uitrekenen flensdiameter na conus

[Arnold82]

Hallo Forum,

Ik heb een wiskundig probleem waar ik en mijn collega's niet uit komen.

Om een beetje interesse te wekken en achtergrond te geven:
Dit is een staalplaat gerold tot conus. Afmetingen die hierbij leidend zijn zijn "D1, D2, L en t"
Echter hier komt een flens in die pas gemaakt moet worden op de binnendiameter.

Dat betekent dat ik een maat "x" van "D1" af moet halen.



TLDR KORT:
bekenden: L, d, t
Hoek tussen de 2 schuine lijnen is altijd 90°
gevraagd: x



Alvast ontzettend dankbaar,

Arnold van der Veen

[arie]

We hebben:
- rechthoekige driehoek OAB, met OB=x, noem OA=a
- rechthoekige driehoek ACD, met CD=d en AC=OC-OA=L-a
De hoeken BOA, ACD en ook BAD (rode lijnen) zijn allemaal 90 graden.

Als hoek \(\alpha\) = hoek CAD, dan is hoek OAB = hoek \(\beta\) = 180 - \(\alpha\) - 90 graden.
Dus zijn \(\alpha\) en \(\beta\) complementaire hoeken, en zijn in de gele driehoeken:
hoek OBA = \(\alpha\)
hoek CDA = \(\beta\)
De gele driehoeken zijn dus gelijkvormig, waardoor:
\(\frac{OB}{OA}=\frac{AC}{CD}\)
ofwel
\(\frac{x}{a}=\frac{L-a}{d}\)
waardoor
\(x=\frac{a\cdot (L-a)}{d}\)
en
\(x^2=\frac{a^2\cdot (L-a)^2}{d^2}\)

Dit resultaat gebruiken we in de stelling van Pythagoras in driehoek OAB:
\(a^2+x^2=t^2\)
wordt dan:
\(a^2+\frac{a^2\cdot (L-a)^2}{d^2}=t^2\)
ofwel
\(d^2\cdot a^2+a^2\cdot (L-a)^2=d^2\cdot t^2\)
ofwel
\(d^2\cdot a^2+a^2\cdot (a^2-2La+L^2)=d^2\cdot t^2\)
ofwel
\(d^2a^2+a^4-2La^3+L^2a^2=d^2t^2\)
ofwel
\(a^4-2La^3+(L^2+d^2)a^2-d^2t^2=0\)
Hieruit kunnen we numeriek a oplossen (met de solve-functie van een rekenmachine of met een rekenprogramma).
We moeten van de 4 mogelijke oplossingen de reele oplossing die tussen 0 en t in ligt kiezen (want a kan niet kleiner dan nul en niet groter dan t zijn).
En als we a hebben, dan weten we via de stelling van Pythagoras ook x:
\(x=\sqrt{t^2-a^2}\)


Voorbeeld:
Als in bovenstaand plaatje:
L = 10
d = 6
t = 2
Hiermee krijgen we:
\(a^4-20a^3+136a^2-144=0\)
de oplossing tussen 0 en t(=2) is:
a = 1.1196877951536879990
(zie bijvoorbeeld https://www.wolframalpha.com/input/?i=a ... E2-144%3D0)
dan is
\(x = \sqrt{t^2 - a^2} = \sqrt{2^2-1.119687795...^2}=1.657196198820125468591298....\)


Is dit bruikbaar en ook wat je bedoelt?

[arie]

Alternatief:
Los direct numeriek op naar x (voor 0 < x < t):
\(x^2-d\cdot x + L\sqrt{t^2-x^2}-t^2 = 0\)

Vervolg van bovenstaand voorbeeld:
\(x^2-6x+10\cdot \sqrt{4-x^2} - 4 = 0\)
levert voor 0 < x < 2 direct:
x = 1.657196198820125468591298...
(zie bv https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... x%5E2%29-4)

[Arnold82]

Hallo Arie,

Bedankt voor je reactie.
Ik snap echter niet precies wat je hier doet.

Uiteindelijk ben ik op zoek naar een formule waar X een formule is van D, L, en t zodat ik dit kan gebruiken in een Excel blad

[arie]

EDIT: zie mijn volgende post hieronder voor een snelle alternatieve oplossing
We zoeken de x (x tussen 0 en t) waarvoor:
\(x^2-d\cdot x + L\sqrt{t^2-x^2}-t^2 = 0\)
ofwel:
Definieer een functie
\(f(x) = x^2-d\cdot x + L\sqrt{t^2-x^2}-t^2\)
dan zoeken we de x waarvoor f(x) = 0 is.

Een eenvoudige formule " x = .... " die de oplossing hiervan geeft is er niet.
We kunnen x wel numeriek oplossen.

Excel heeft hiervoor de solver
(zie bv. https://sciencing.com/how-to-turn-every ... 63823.html, en heb je die nog niet geinstalleerd, zie dan bv. https://www.excel-easy.com/data-analysis/solver.html)

Voor ons probleem vertaalt dat zich hiernaar (in mijn oude Engelse Excel versie):



De constanten L, d en t staan in cellen B1 t/m B3, de formule
\(f(x) = x^2-d\cdot x + L\sqrt{t^2-x^2}-t^2\)
staat in B4 als
=B5^2-B2*B5+B1*SQRT(B3^2-B5^2)-B3^2
de waarde van x staat in B5.

Als we B5 = x op nul zetten, verandert B4 in 16, en dat klopt, want in ons voorbeeld is:
\(f(0) = 0^2-6\cdot 0 + 10\sqrt{2^2-0^2}-2^2 = 20 - 4 = 16\)
Als we B5 = x op 2 (=t) zetten, verandert B4 in -12, en ook dat klopt, want in ons voorbeeld is:
\(f(2) = 2^2-6\cdot 2 + 10\sqrt{2^2-2^2}-2^2 = 4 - 12 + 0 - 4 = -12\)
Tussen x=0 en x=2 wordt f(x) ergens nul, en de x waarvoor dat gebeurt die zoeken we.

Met andere woorden: we willen de waarde van B4 (=f(x)) op nul krijgen door de waarde van B5 (=x) te veranderen.
Dat kunnen we in dit Excel blad met de hand doen door x herhaald aan te passen, maar de Excel solver doet dit automatisch.
Zet eerst de beginwaarde van x = cel B5 ergens tussen 0 en t(=2), dan weet de solver straks waar hij ongeveer moet zoeken (in het plaatje is de beginwaarde x = 1.9).
Zet vervolgens na aanroep van de solver:
- Target Cell = $B$4 (cel B4 = f(x) formule)
- Equal to value of 0 (we willen deze cel nul maken)
- By changing cel $B$5 (cel B5 = x, en die kunnen we veranderen).
Klik dan op "Solve"-button en de solver geeft de oplossing.
Tenslotte vraagt hij nog of je de oplossing wil bewaren, klik dan op OK.

Excel geeft dan als benadering:
cel B5 = x = 1.65719619391745
cel B4 = f(x) = 8.57288089406438E-08 = ongeveer nul.
en dat komt overeen met wat ik hierboven had gevonden.

Kom je hiermee verder?

[arie]

Aanvulling:

Je kan ook deze functie flensX in Visual Basic invoegen
(je hebt de Excel Solver dan helemaal niet meer nodig):

Code: Selecteer alles

Function flensX(L As Double, d As Double, t As Double)

xhi = t
fhi = -d * t
xlo = 0
flo = (L - t) * t

For i = 1 To 50
    xmid = (xlo + xhi) / 2#
    fmid = xmid ^ 2 - d * xmid + L * Sqr(t ^ 2 - xmid ^ 2) - t ^ 2
    If fmid < 0 Then
        xhi = xmid
    Else
        xlo = xmid
    End If
Next

flensX = (xlo + xhi) / 2#

End Function

Op het werkblad kan je flensX(L,d,T) dan aanroepen net zoals elke andere Excel functie,
bv: in cel B6 in bovenstaand voorbeeld:
=flensX(B1;B2;B3)
geeft dan direct als resultaat 1.6571961988202

[Arnold82]

Hallo Arie,

Ontzettend bedankt voor deze uitgebreide uitleg.
Ik ga dit morgen proberen te doen.

Als je zegt dat de waarde x niet anders op te lossen is dan geloof ik dat.
Solver installeren of VBA in excel kan helaas niet, maar kan nog wel programmeren na Excel in mijn model.

Heel erg bedankt!