Expansie in schottenpomp

[Ratelslang5]

Goedemiddag dames en heren,

Ik zit met een probleem waar ik zelf niet uit kan komen . Het gaat om het oppervlakte tussen de schotten van een schottenpomp (zie afbeelding https://ibb.co/R9R9Fcc), op welke positie de schotten ook staan. Door de excentriciteit van het huis en de rotor, en met name het feit dat de schotten loodrecht op de rotor staan en niet het huis, krijg ik het oppervlakte niet in formulevorm geschreven. Ik kan overigens aan het volume komen via andere methodes, alleen zou ik graag willen dat ik een volledig Excel bestand heb waarin ik met behulp van alle dimensies en de starthoek de volumes tussen de schotten direct kan aflezen. Hier in mist dus alleen de berekening voor het oppervlakte nog (waar ik uiteindelijk weer makkelijk het volume van kan afleiden met behulp van de lengte).

Ik heb een wat gedetailleerder aanzicht gemaakt van een voorbeeldsituatie met vijf schotten (afbeelding https://ibb.co/44sKdxV). Ik ben dus op zoek naar oppervlaktes A1,...,A5. Een paar randvoorwaarden die er bij horen zijn:

- Het startpunt waarvan de hoekpositie van een schot wordt bepaald is onderin in het midden. De rotor draait met de klok mee.
- Alle schotten staan even ver van elkaar vandaan. Voor deze situatie (5 schotten) betekend dat dus 360/5=72 graden.
- De rotatie over 0 graden tot 180 graden is hetzelfde als de rotatie over 180 graden tot 360 graden, maar dan omgedraaid.
- De afstand tussen de rotor en cilinder (onderin) mag worden beschouwd als 0.
- Je mag er van uitgaan dat het uiteinde van de middellijn door een schot contact maakt met de binnenwand. Feitelijk veranderd het contactpunt door de rotatie heen, maar dit heeft vrijwel geen invloed en wordt te complex om mee te nemen.
- Ik kan me voorstellen dat het meenemen van de dikte van een schot (z) in de berekening erg complex kan worden. Deze hoeft niet perse meegenomen te worden, misschien dat ik dat in de toekomst nog kan toevoegen.

Een oplossing voor de uitschuifafstand van de schotten (Y1,...,Y5) heb ik al, hier hoeft geen aandacht aan besteedt te worden.

Een hele lap informatie inmiddels . Als iemand mij hier mee zou kunnen helpen zou dat in ieder geval geweldig zijn. Zo niet, dan begrijp ik dat ook. Als je alleen al denkt te weten welke techniek hier voor toegepast kan worden hoor ik het ook graag !

Alvast bedankt!

[arie]

Hou de rotor (rode cirkel, middelpunt O, straal R1=8) stil en laat het huis (blauwe cirkel, middelpunt M, straal R2=10) roteren om de rode cirkel.
Dat wil zeggen: het middelpunt M van het huis roteert om het middelpunt O van de rotor, de afstand OM blijft R2-R1=2.
In dit voorbeeld is de starthoek \(\alpha = 15^\circ\), te herleiden naar jouw starthoek \(\varphi\)
Het middelpunt M ligt dan op \(((R2-R1)\cos(\alpha), \;(R2-R1)\sin(\alpha)) = (2\cos(15^\circ), \;2\sin(15^\circ)) \)
Neem als eerste schot lijnstuk SD (op de x-as), en het volgende schot lijnstuk PQ.
Met 5 schotten is de hoek tussen deze 2 schotten \(=\angle SOP = 72^\circ\) zoals je al aangaf
Je zoekt dan het oppervlak PQDS ingesloten door de 2 cirkels en de 2 schotten.
Dat oppervlak berekenen we met een vijftal eenvoudiger te bepalen oppervlakken:

[1] \(A_1\): PQQ'P': geel in bovenstaande figuur:
\(P = (\cos(72^\circ), \;\sin(72^\circ)) \)
Q is het snijpunt van de lijn \(l: y = x \cdot tan(72^\circ)\) en de blauwe cirkel.
Ik kom uit op
\(Qx = \frac{Mx+My\tan(\alpha)+\sqrt{R_2^2\cdot (1+\tan^2(\alpha))-(Mx\tan(\alpha)-My)^2}}{1+\tan^2(\alpha)}\)
en
\(Qy = Qx \cdot \tan(\alpha)\)
P' is de projectie van P op de x-as, dus P' = (Px, 0)
Q' is de projectie van Q op de x-as, dus Q' = (Qx, 0)
Hiermee wordt ons eerste oppervlak
\(A_1 = \frac{1}{2}(Py+Qy)(Qx-Px)\)


[2] \(A_2\) halfsegment QBC van de blauwe cirkel (lichtblauw in de figuur):
Definieer
\(B = (Qx, My)\)
\(C = (Mx+R_2, My)\)
Het oppervlak van een segment vind je hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_ ... h_and_area
Voor ons is
\(R = R_2\)
en
\(\sin(\theta/2) = \frac{QB}{R_2} = \frac{Qy - By}{R_2} = \frac{Qy - My}{R_2}\)
dus
\(\theta = 2 \cdot \text{asin} \left( \frac{Qy-My}{R_2} \right)\)
en
\(A_2 = \frac{R_2^2}{4}(\theta - \sin(\theta))\)
(NOOT: \(\theta\) in radialen!)


[3] \(A_3\) rechthoek BQ'DE (groen)
D = snijpunt van blauwe cirkel met de x-as:
\(D = \left( Mx+\sqrt{R_2^2-My^2}, \; 0\right)\)
en
\(E = (Dx, My)\)
dus
\(A_3 = (Ex-Bx)\cdot Ey\)


[4] \(A_4\) halfsegment DEC van de blauwe cirkel (erg klein, vrijwel onzichtbaar in de figuur):
Als in [2], nu met:
\(R = R_2\)
en
\(\sin(\theta/2) = \frac{DE}{R_2} = \frac{My}{R_2}\)
(NOOT: \(\theta\) in radialen!)

Deze 4 oppervlakken vormen samen het oppervlak ingesloten door QP, P P', P'D en de blauwe cirkel.

Hier moeten we alleen nog het halfsegment PP'S van de rode cirkel van aftrekken:

[5] \(A_5\) halfsegment PP'S van de rode cirkel:
Als in [2], nu met:
\(R = R_1\)
en
\(\sin(\theta/2) = \frac{PP'}{R_1} = \frac{Py}{R_1}\)
(NOOT: \(\theta\) in radialen!)


Tenslotte is oppervlak \(PQDS = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 - A_5\)


Deze berekening herhalen we voor alle overige compartimenten van de pomp, dus voor de hoeken
\(\angle SOM = 15 + k\cdot 72\), met \(1 \le k \le 4\)

Met de getallen uit bovenstaand voorbeeld kom ik uit op:

Code: Selecteer alles

hoek SOM = 15 graden:
A1 = 8.20694613
A2 = 64.07947874
A3 = 4.41827430
A4 = 0.00462708
A5 = 30.80782193
PQDS = 45.90150433

hoek SOM = 15 + 72 = 87 graden:
A1 = 11.46906218
A2 = 43.53553947
A3 = 12.42332662
A4 = 0.26881965
A5 = 30.80782193
PQDS = 36.88892600

hoek SOM = 15 + 2*72 = 159 graden:
A1 = 5.00692695
A2 = 31.33935941
A3 = 3.61727044
A4 = 0.01229212
A5 = 30.80782193
PQDS = 9.16802699

hoek SOM = 15 + 3*72 = 231 graden:
A1 = 0.25354172
A2 = 41.80964142
A3 = -9.50386026
A4 = -0.12608220
A5 = 30.80782193
PQDS = 1.62541875

hoek SOM = 15 + 4*72 = 303 graden:                                                               
A1 = 1.51376185
A2 = 62.86114425
A3 = -13.89497145
A4 = -0.15865325
A5 = 30.80782193
PQDS = 19.51345947

Ter controle:
De som van bovenstaande 5 PQDS waarden moet gelijk zijn aan het verschil in oppervlak van de blauwe en rode cirkel:
45.90150433 + 36.88892600 + 9.16802699 + 1.62541875 + 19.51345947 = 113.09733554
en
\(\pi R_2^2 - \pi R_1^2 = \pi(10^2-8^2) = 113.09733552...\)


PS
- Als My<0 moeten A3 en A4 van A2 afgetrokken worden, maar door de definitie van deze oppervlakken gaat dat automatisch goed.

- Als Mx > Qx dan moeten we A2 aanpassen:
\(A_2 = \frac{\pi\cdot R_2^2}{2}-A_2\)
waarbij links de aangepaste A2 en rechts de als hierboven gevonden A2.

- voor aantal schotten = 2, 3 of 4 moeten we waarschijnlijk ook aanpassingen maken,
maar je kan die ook bepalen door resp 8, 6 of 8 schotten te nemen, en dan steeds
resp 4, 2 of 2 aansluitende compartimenten samen te trekken.

- het oppervlak van de schotten (alle met dikte z) zou ik benaderen als rechthoeken:
(1/2) * z * (PQ + SD)
en dit dan van het betreffende vloeistofoppervlak aftrekken.

[Ratelslang5]

Hoi Arie,

Bedankt voor je reactie!

De benadering om de grote cirkel te laten roteren om de kleine had ik niet zien aankomen. Ik ga eens proberen met deze formules te werken en te kijken of ik het wellicht in mijn model kan verwerken. Ook kan ik de waarden die er uit komen controleren met behulp van modelleersoftware.

Ik heb ook nog gezocht naar technieken om dit probleem aan te pakken, en zo ben ik gestuit op de polaire vergelijking (https://web.ma.utexas.edu/users/m408s/m ... 10-4-2.php) voor het berekenen van het oppervlakte over een bepaalde hoek (nog nooit van gehoord hier voor). In dit geval zou het betekenen dat de grote cirkel dus in segmentjes opgedeeld kan worden met als 0-punt het middelpunt van de kleine cirkel. Voor zover ik begreep betreft uit de integraal de functie voor de straal vanaf dit middelpunt. Een formule voor heb ik al, aangezien ik eerder al moest berekenen hoe ver de schotten uitschuiven over 360 graden rotatie. Deze formule verandert wel iets per 90 graden, dus heb ik vier verschillende welke in Excel door een ALS.VOORWAARDE onder de juiste situatie worden toegepast.

Dat zijn de volgende formules (met als startpunt = 0° waar de cirkels met elkaar in contact komen / waar uitschuiflengte schot = 0 en draairichting CW, als radius grote cirkel, als excentriciteit en dus als 'straal' tot buitenwand grote cirkel vanaf het middelpunt van de kleine cirkel):

• ALS:

• ALS:

• ALS:

• ALS:

Het enige probleem is dat ik te belabberd ben in integralen. Wat vindt jij van deze aanpak, kan dit ook een oplossing bieden?

[arie]

Met integraalrekening lukt het ook.
We houden nu beide cirkels gefixeerd zoals in bovenstaand plaatje, met opnieuw met R1=8 en R2=10, M=(-2, 0).
Afhankelijk van hoek \(\theta\) moeten we nu r (=OP) kunnen bepalen voor elk punt P op de blauwe cirkel.
Dus \(P = ( r \cdot \cos (\theta), \; r \cdot \sin (\theta))\) moet voldoen aan de cirkelvergelijking van de blauwe cirkel:
\((x-mx)^2 + (y-my)^2 = R^2\)
en omdat my=0 aan:
\((x-mx)^2 + y^2 = R^2\)
Vul hierin P in:
\((r\cdot \cos(\theta)-mx)^2 + (r \cdot \sin(\theta))^2 = R^2\)
(terzijde: deze gelijkheid volgt ook direct uit de stelling van Pythagoras in driehoek MP'P)
Oplossen naar r levert:
\(r = mx \cdot \cos(\theta) + \sqrt{R^2-mx^2\sin^2(\theta)}\)
(de andere wortel hebben we niet nodig).

We hebben nu dus r als functie van \(\theta\)
\(r(\theta) = mx \cdot \cos(\theta) + \sqrt{R^2-mx^2\sin^2(\theta)}\)
en kunnen hiermee bepalen:
\(\frac{1}{2} \displaystyle \int r^2(\theta) \; d\theta\)
ofwel
\(\frac{1}{2} \displaystyle \int mx^2\cos^2(\theta) + 2mx\cos(\theta)\sqrt{R^2-mx^2 \sin^2(\theta)} + R^2 - mx^2\sin^2(\theta) \;\; d\theta\)
ofwel
\(\frac{1}{2} \displaystyle \int R^2 + mx^2\left(\cos^2(\theta)-sin^2(\theta)\right) + 2mx\cos(\theta)\sqrt{R^2-mx^2 \sin^2(\theta)} \;\; d\theta\)
ofwel
\(\frac{1}{2} \displaystyle \int R^2 + mx^2\cos(2\theta) + 2mx\cos(\theta)\sqrt{R^2-mx^2 \sin^2(\theta)} \;\; d\theta\)


Ik kom uiteindelijk uit op
\(\frac{1}{2}R^2\theta + \frac{1}{4} mx^2\sin (2\theta) + \frac{1}{2}mx\cdot |mx|\left[\sin (\theta)\sqrt{\left(\frac{R}{mx}\right)^2-\sin^2(\theta)} + \left(\frac{R}{mx}\right)^2 \sin^{-1}\frac{\sin(\theta)}{|R/mx|} \right]\)


Voorbeeld
Met bovenstaande getallen wordt de primitieve:
\(P(\theta) = 50\theta + \sin (2\theta) - 2\cdot \left[\sin (\theta)\sqrt{25-\sin^2(\theta)} + 25 \sin^{-1}\frac{\sin(\theta)}{5} \right]\)

Het eerste oppervlak van mijn eerste post loopt nu van \(165^\circ\) tot \(237^\circ\)
(roteer het plaatje in mijn eerste post om O over 165 graden: raakpunt A van de cirkels komt dan op de positieve x-as,
schot SD op 165 graden en schot PQ op 165+72=237 graden):
\(A_1 = P(\pi\cdot 237/180) - P(\pi\cdot 165/180) - (\pi \cdot 8^2) / 5 = 45.9015043293259...\)
zoals we al eerder vonden (\(\theta\) in radialen; de 3e term is het oppervlak van de sector in de rode cirkel).


PS:
Klopt deze waarde ook met je modelleer-software?

[Ratelslang5]

Nou Arie, ik kan je vertellen dat je antwoord precies klopt . Heel erg bedankt in ieder geval, dat was mij niet gelukt.

Denk je dat het heel ingewikkeld is om hier de schotdikte nog in te verwerken?

[arie]

Bedankt voor je controle, mooi dat het klopt.
Ik kom later vandaag nog terug op de schotdikte.

[Ratelslang5]

Ik probeer momenteel de primitieve functie en de formule van zelf op te lossen, maar ik kan niet op 45,9.. uitkomen. Ik heb het even in Excel gestopt, kan jij zien wat ik fout doe?

Voor heb ik:
=(50*RADIALEN(165))+SIN(2*165)-2*(SIN(165))*(WORTEL(25-(SIN(165))^2))+25*BOOGSIN(SIN(165)/5)

Voor heb ik:
=U28*(PI()*237/180)-U28*(PI()*165/180)-(PI()*8^2)/5
Waarbij U28 = uitkomst !

Ik heb al flink wat variaties geprobeerd om te kijken of ik hem net als jij kon invullen, maar volgens mij zie ik iets over het hoofd .

Overigens wordt de radius van kleine en grote cirkel niet als variabele gehouden. Klopt het dat de radiussen (8 en 10) als constante zijn meegenomen?

[arie]

We hebben hierboven gevonden:

\( \displaystyle \int \frac{r(\theta)^2}{2} \; d\theta = \)
\(\frac{1}{2}R^2\theta + \frac{1}{4} mx^2\sin (2\theta) + \frac{1}{2}mx\cdot |mx|\left[\sin (\theta)\sqrt{\left(\frac{R}{mx}\right)^2-\sin^2(\theta)} + \left(\frac{R}{mx}\right)^2 \sin^{-1}\frac{\sin(\theta)}{|R/mx|} \right]+ C\)
\(=F(\theta) + C\)

Hiermee kunnen we oppervlak OSP berekenen (blauw in bovenstaand plaatje).
Noot: de integratieconstante C mogen we in het vervolg hieronder verwaarlozen (= nul stellen).
R = de straal van de blauwe cirkel = 10 in ons voorbeeld.
mx = (de straal van de rode cirkel) - (de straal van de blauwe cirkel) = 8 - 10 = -2 in ons voorbeeld.
Hierdoor is M = (mx, 0) = het middelpunt van de blauwe cirkel,
en raken de 2 cirkels elkaar in punt A op de positieve x-as (= punt (8, 0) in ons voorbeeld).

Noem
\(\angle AOP = \alpha = 165^\circ = \pi \cdot 165 / 180 \approx 2.87979326579 \; \text{rad}\)
\(\angle AOS = \beta = 237^\circ = \pi \cdot 237 / 180 \approx 4.1364303272266 \;\text{rad}\)

Oppervlak OSP wordt dan gegeven door de bepaalde integraal van \(\alpha\) tot \(\beta\):

\( \displaystyle \int_\alpha^\beta \frac{r(\theta)^2}{2} \; d\theta = F(\beta)-F(\alpha)\)

met \(\alpha\) en \(\beta\) in radialen.
De eerste keer vul je voor \(\theta\) de waarde van \(\beta\) in, de tweede keer de waarde van \(\alpha\)

Omdat we oppervlak PQTS willen weten, moeten we hier tenslotte nog het oppervlak van cirkelsector OQT van af trekken.
Dit laatste oppervlak is 1/5 van het oppervlak van de rode cirkel, in ons voorbeeld dus \(\frac{1}{5} \pi \cdot 8^2\)

Lukt het hiermee om op 45.90150... uit te komen?

[arie]

In bovenstaand plaatje is de hoek \(\theta = 65^\circ\) gekozen,
verder houden we de oude waarden aan:
R1 = straal rode cirkel = 8
R = R2 = straal blauwe cirkel = 10
mx = R1 - R2 = 8 - 10 = -2, dus M = (-2, 0)
\(Q = (R_1 \cos(\theta), \; R_1 \sin(\theta))\)
P = het snijpunt van de lijn OQ en de blauwe cirkel.

Dan is volgens een eerdere post:
\(|OP| = r = mx \cdot \cos(\theta) + \sqrt{R^2-mx^2\sin^2(\theta)}\)
dus
\(P = (r \cos(\theta), \; r \sin(\theta))\)

De schotwanden (groene lijnen) lopen parallel aan OQ, beide op gelijke afstand van OQ.
Stel nu A = het snijpunt van de ene schotwand met de rode cirkel, B = het snijpunt van de andere schotwand met de rode cirkel, en de breedte van een schot = z = AB (= 2 in dit voorbeeld).
Dan staat AB loodrecht op OQ
Noem
\(\varphi = \angle QOA\),
dan is
\(\sin(\varphi) = \frac{z/2}{OA} = \frac{z}{2R_1}\)
en
\(\varphi = \sin^{-1}\left(\frac{z}{2R_1}\right)\)

Hiermee zijn de coordinaten van A en B te bepalen:
\(A = (R_1 \cos(\theta + \varphi), \; R1 \sin(\theta + \varphi) )\)
\(B = (R_1 \cos(\theta - \varphi), \; R1 \sin(\theta - \varphi) )\)

Omdat de groene lijnen parallel lopen aan de lijn door O en Q, kunnen we via een vectorvoorstelling C bepalen:
\(\underline{c} = \lambda \underline{q} + \underline{a}\)
ofwel
\(cx = \lambda \cdot qx + ax\)
\(cy = \lambda \cdot qy + ay\)
en omdat C op de blauwe cirkel ligt:
\((cx-mx)^2 + cy^2 = R_2^2\)
\((\lambda \cdot qx + (ax-mx))^2 + (\lambda \cdot qy + ay)^2 = R_2^2\)
\(R_1^2 \lambda^2 + 2[qx\cdot(ax-mx)+qy\cdot ay]\cdot \lambda + (ax-mx)^2 + ay^2 - R_2^2 = 0\)
Los hieruit \(\lambda\) op en neem de oplossing \(\lambda > 0\).
Vul tenslotte deze \(\lambda\) in in
\(cx = \lambda \cdot qx + ax\)
en in
\(cy = \lambda \cdot qy + ay\)
en nu hebben we de coordinaten van C.

Evenzo voor D:
\(\underline{d} = \mu \underline{q} + \underline{b}\)
etc.

Als we nu de bogen CP, PD, AQ en QB benaderen door de rechte lijnstukken resp CP, PD, AQ en QB,
Dan is
Oppervlak(CPQA) = Oppervlak(CPQ) + Oppervlak(QAC)
en
Oppervlak(PDBQ) = Oppervlak(PDB) + Oppervlak(BQP)
Omdat we de coordinaten van al deze punten hebben, kunnen we de oppervlakten van de 4 driehoeken eenvoudig via de absolute waarde van een determinant bepalen, zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle# ... oordinates
de tweede formule van die paragraaf voor het oppervlak T van driehoek ABC:
\(T=\frac{1}{2}\left| det\begin{pmatrix}ax & bx & cx\\ ay & by & cy\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\right| = ...\)


Oppervlak(CPQA) moeten we dan aftrekken van het compartiment links van QP,
Oppervlak(PDBQ) van het compartiment rechts van QP.


NOOT: in deze benadering sluit bovenrand CPD perfect aan op de blauwe cirkel.
In de praktijk zal dit waarschijnlijk niet lukken, we trekken hier dan iets te veel af van de vloeistofcompartimenten.


Ter controle:
In dit voorbeeld kom ik uit op
P = (3.79896319, 8.14690284)
Q = (3.38094609, 7.25046230)
A = (2.44812067, 7.61621331)
B = (4.26073625, 6.77097679)
C = (2.94868565, 8.68967838)
D = (4.60467186, 7.50854910)
Opp(CPQA) = 1.08677518
Opp(PDBQ) = 0.90146685

[arie]

Excel blijkt het wel te doen, maar let op de input/output van de goniometrische functies (graden of radialen) en zorg dat alle haakjes kloppen.
In mijn Engelse versie werken sin() en asin() met radialen (je kan dit eenvoudig checken: sin(30)=0.5 en asin(0.5)=30 als je Excel in graden werkt, anders werkt het in radialen).

De gele velden vul je in, de rest wordt berekend.
B6:
=B2-B3
B7:
=ABS(B6)
B8:
=360/B4

C12:
=B12+$B$8
D12:
=B12*PI()/180
E12:
=C12*PI()/180
F12:
=$B$3^2*D12/2 + $B$6^2*SIN(2*D12)/4 + 0.5*$B$6*$B$7*( SIN(D12)*SQRT(($B$3/$B$6)^2-SIN(D12)^2)+($B$3/$B$6)^2*ASIN(SIN(D12)/($B$3/$B$7) ))
G12:
=$B$3^2*E12/2 + $B$6^2*SIN(2*E12)/4 + 0.5*$B$6*$B$7*( SIN(E12)*SQRT(($B$3/$B$6)^2-SIN(E12)^2)+($B$3/$B$6)^2*ASIN(SIN(E12)/($B$3/$B$7) ))
H12:
= G12 - F12 - PI()*$B$2^2/$B$4


De hele regel 12 kan je onbeperkt copy/pasten naar de volgende regels, daarna hoef je alleen maar nieuwe waarden voor alpha in te vullen, de overige gegevens van de tabel worden daarop automatisch berekend.

[Ratelslang5]

Hoi Arie,

Heel erg bedankt voor de moeite, ik heb het resultaat in Excel verwerkt en het klopt inderdaad! Je hebt het overigens ook goed uitgelegd, wat nog best erg ingewikkelde stof is. Ik vind het knap dat je dat allemaal kan.

Met deze info kan ik mijn simulator afmaken om de expansie te berekenen!