Wiskundeforum

Beste knappe koppen

Ik heb een probleem met (drie) hoeken en het is iets te lang geleden dat ik met goniometrie te maken heb gehad om er nog uit te komen... Is er iemand op het forum die me een zetje de goede richting op kan geven?

In een X/Y vlak heb ik de oorsprong O, een punt A en een punt B. Ik ken de hoeken van AO en BO tov de X-as (hoeken alfa en beta voor AO en BO)
Ook heb ik een lengte X. Er geldt Lengte X = Lengte AB + Lengte BO - lengte AO.

Met deze gegevens wil ik graag Lengte AO en lengte BO uitrekenen.

Is het (überhaupt) mogelijk om de lengtes te berekenen als functie van hoek alfa, hoek beta en lengte X? Voor mijn gevoel bepalen de (bekende) hoeken de verhoudingen van de driehoek en kan X daarmee gebruikt worden om de grootte van alle zijden te bepalen?

Ik heb een plaatje toegevoegd om het eea te verduidelijken.
https://imgur.com/a/zyFIjuO



Stefan

Kies A = (12, 9) en B = (-4, 2).
Dan is
OA = \(\sqrt{12^2 + 9^2} = 15\)
OB = \(\sqrt{4^2 + 2^2} = 4.4721359549995...\)
AB = \(\sqrt{16^2 + 7^2} = 17.46424919657298...\)
dus
X = OA + OB + AB = 36.93638515157...

Definieer nu C = (-8, 4), in het verlengde van OB dus onder dezelfde hoek beta als OB,
en D = (dx, (3/4)*dx), dat is een punt op de lijn door O en A, dus onder dezelfde hoek alfa als OA.
Los dan de vergelijking op:
OC + OD + CD = X
OC en X kennen we, OD kunnen we uitdrukken in dx, en CD kunnen we uitdrukken in dx.
We houden dan een vergelijking over met dx als enige onbekende.
Als we dx hieruit oplossen kom ik uit op dx = 8.7966480790622..., dus dy = (3/4)*dx = 6.597486059296....
Nu hebben we:
OC = 2*OB = 8.944271909999...
OD = \(\sqrt{dx^2 + dy^2} = 10.995810098827...\)
CD = \(\sqrt{(dx+8)^2 + (dy-4)^2} = 16.996303142745629...\)
en
X2 = OC + OD + CD = 36.93638515157...

We hebben nu dus driehoek OCD, niet gelijkvormig met OAB, maar wel met D onder een hoek alfa en C onder hoek beta t.o.v. de positieve x-as, en met dezelfde omtrek als driehoek OAB: X = X2.

De beschikbare gegevens zijn dus onvoldoende om driehoek OAB eenduidig te bepalen...

Wat een originele benadering van het probleem, zelf was ik aan het worstelen met de cosinusregel. Ik had wat tijd nodig om te doorgronden wat je hebt gedaan, maar inderdaad. Er is inderdaad nog 1 onbekende teveel, helaas