Ik vermoed dat het over het blauw-rode lichaam in dit plaatje gaat:
- Links in het x-y-vlak (=bovenaanzicht): blauw het hellende gedeelte, rood het vlakke gedeelte
M = (0, 0, 0) = het middelpunt van de cilinderbasis (=cirkel).
P = (Px, Py, Pz) = (0, Py, 0) = het laagste punt op de y-as
Q = (Qx, Qy, Qz) = (0, Qy, Qz) = het hoogste punt op de y-as
r = de straal van de cilinder
- Rechts in het y-z-vlak(=zijaanzicht).
Hoogte h = de z-coordinaat van Q
[1] Het volume van het rode gedeelte
Het volume van het rode gedeelte= oppervlak van het rode cirkelsegment × hoogte h
Noem s = de segmenthoogte in het x-y-vlak, dan is
\(s = r - Q_y\)
en dat geeft voor het segmentoppervlak
\(A_{segment}\) in het x-y-vlak:
\(A_{segment}=r^2 \cdot \text{cos}^{-1} \left(1-\frac {s}{r}\right)-(r-s)\cdot \sqrt{r^2-(r-s)^2}\)
(zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_ ... h_and_area)
Hierdoor is het volume van het rode gedeelte
\(V_{rood} = h \cdot A_{segment}\)
[2] Het volume van het blauwe gedeelte
De bovenbegrenzing is een hellend vlak, waarbij de z-coordinaat oploopt van Pz=0 tot Qz=h over het traject van Py tot Qy.
De hoogte z is alleen afhankelijk van y, niet van x.
Dan krijgen we z als (lineaire) functie van y (met te bepalen constanten a en b):
\(z = a\cdot y + b\)
Punten P en Q invullen geeft:
\(P_z = a \cdot P_y + b\)
\(Q_z = a \cdot Q_y + b\)
Hieruit a en b oplossen geeft:
\(a = \frac{Q_z}{Q_y-P_y}\)
\(b = \frac{-P_y\cdot Q_z}{Q_y-P_y}\)
dus
\(z = \frac{Q_z}{Q_y-P_y}\cdot y + \frac{-P_y\cdot Q_z}{Q_y-P_y}\)
Nu kunnen we het blauwe volume bepalen:
\(\displaystyle V_{blauw} = \int_{y=P_y}^{Q_y}\int_{x=-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} \int_{z=0}^{a\cdot y+b}\; 1 \; dz \; dx \; dy\)
\(\displaystyle = \int_{y=P_y}^{Q_y}\int_{x=-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}\; \left[ z\right]_{z=0}^{a\cdot y+b}\; dx \; dy\)
\(\displaystyle = \int_{y=P_y}^{Q_y}\int_{x=-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}\; (ay+b)\; dx \; dy\)
\(\displaystyle = \int_{y=P_y}^{Q_y}\left[(ay+b)\cdot x\right]_{x=-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}\; \; dy\)
\(\displaystyle = \int_{y=P_y}^{Q_y}2\cdot (ay+b)\cdot \sqrt{r^2-y^2}\; \; dy\)
\(\displaystyle = 2a\cdot \int_{y=P_y}^{Q_y}y\cdot \sqrt{r^2-y^2}\; \; dy \;+\; 2b\cdot\int_{y=P_y}^{Q_y}\sqrt{r^2-y^2}\; \; dy\)
(dit zijn 2 standaard-integralen)
\(=2a\cdot \left[ -\frac{1}{3}\sqrt{(r^2-y^2)^3}\right]_{y=P_y}^{Q_y}\;+\; 2b\cdot \left[ \frac{1}{2} y\sqrt{r^2-y^2}+ \frac{r^2}{2} \text{sin}^{-1}\frac{y}{r}\right]_{y=P_y}^{Q_y}\)
\(=\left[ -\frac{2a}{3}(r^2-y^2)\sqrt{r^2-y^2}\right]_{y=P_y}^{Q_y}\;+\; \left[ yb\sqrt{r^2-y^2}+ r^2b \cdot\text{sin}^{-1}\frac{y}{r}\right]_{y=P_y}^{Q_y}\)
\(=\left[ \left(yb -\frac{2a}{3}(r^2-y^2)\right)\cdot\sqrt{r^2-y^2}+ r^2b \cdot\text{sin}^{-1}\frac{y}{r}\right]_{y=P_y}^{Q_y}\)
\(=\left( \left(Q_yb -\frac{2a}{3}(r^2-Q_y^2)\right)\cdot\sqrt{r^2-Q_y^2}+ r^2b \cdot\text{sin}^{-1}\frac{Q_y}{r}\right) - \left( \left(P_yb -\frac{2a}{3}(r^2-P_y^2)\right)\cdot\sqrt{r^2-P_y^2}+ r^2b \cdot\text{sin}^{-1}\frac{P_y}{r}\right)\)
Als je de uiteindelijke primitieve f(y) noemt:
\(f(y) =\left(y\cdot b -\frac{2a}{3}(r^2-y^2)\right)\cdot\sqrt{r^2-y^2}+ r^2b \cdot\text{sin}^{-1}\frac{y}{r}\)
dan wordt dit:
\(V_{blauw} = f(Q_y) - f(P_y)\)
NOOT: alle goniometrische functies zijn in radialen
Voorbeeld
Zoals in bovenstaand plaatje:
r = 10
h = 3
P = (0, -2, 0)
Q = (0, 4, 3)
dan is
s = 10 - 4 = 6
\(A_{segment} = 79.267342513...\)
\(V_{rood} = 237.802027539...\)
a = 1/2
b = 1
\(V_{blauw} = 174.4544483464...\)
Bedoel je dit?