Afnemend winstmarge

[genius]

Hallo,

Ik probeer een formule op te stellen om een nieuwe prijs te bereken plus een winstmarge. Alleen dit winstmarge moet afnemen naarmate de prijs stijgt. Hoewel ik wel in de vijfde klas van het VWO zit, is het mij nog gelukt iets zinnigs te bedenken.

Ter verduidelijking een aantal voorbeelden van prijzen:

Oude prijs €1 kan best €2,50 worden
Oude prijs €80 kan niet €200 worden, maar eerder iets als €95

Ik zat zelf te denken aan iets met een exponentiele (of misschiem logaritmisch?) afname van een groeifactor maar een daadwerkelijke formule opstellen lukt mij helaas niet.

Kunnen jullie mij misschien opweg helpen?

Alvast bedankt.
Bart

[arie]

Noem:
pn = de nieuwe prijs
po = de oude prijs
wm = de winstmarge (als fractie van de prijs)
dan heb je
pn = po * ( 1 + wm )
en je wilt wm laten afnemen naarmate po stijgt.
wm is dus een functie van po, je kan daarom ook schrijven:
pn = po * ( 1 + wm(po) )
waarin wm(po) = een functie die afhankelijk van po de winstmarge geeft.
Als we deze formule herschrijven kan je ook wm(po) bepalen als je pn en po weet:
wm(po) = (pn/po) - 1

Je dacht zelf al aan een exponentiele functie wm(po), dat kan prima.
In het algemeen heeft je functie dan de vorm:



met a en b reele getallen (= constanten = parameters) die we nog zoeken.

Je hebt al 2 punten van deze functie:
- als po = 1 dan is pn=2.50 dus dan is wm(1) = (2.50/1) - 1 = 1.50
- als po = 80 dan is pn=95 dus dan is wm(80) = (95/80) - 1 = 15 / 80

Kan je hiermee de waarden van a en b bepalen?

[genius]

Bedankt voor het antwoord! Hoewel ik dit volgens mij voor wiskunde wel zou moeten kunnen, is het mij nog niet gelukt de hele formule op te stellen. Ik heb nu het volgende bedacht:

PO = 1 => WM = 1,5
PO = 80 => WM = 15/80

e79 = 80/1 = 80
e = 80 ^ (1/79) = 1,057

WM = a * 1,057^po

a * 1,057^1 = 1,5
a = 1,5/1,057 = 1,419

WM = 1,419 * 1,057^po

Maar volgens mij klopt dit niet helemaal, wel? Ik heb de b in de gegeven formule ook niet gebruikt misschien dat het daar aan ligt.

Ter controle van de formule heb ik het volgende gedaan:

WM = 1,419 * 1,057^1 = 1,499 Dus dat klopt
PN = 1 * (1 + 1,499) = 2,499 Klopt ook

WM = 1,419 * 1,057^80 = 119,669 Kan kloppen, 80 * 1,19 = 195,2
PN = 80 * (1 + 119,669) = 9653,52 Maar klopt dus niet met de zelfde formule als hierboven

[arie]

In de formule



is e het grondtal van de natuurlijke logaritme: e = 2.71828... (zoals ook te vinden op je rekenmachine).
Het gaat er dus alleen om de waarden van a en b te bepalen.

Als je liever met grondtal 10 werkt mag je ook uitgaan van:



waarbij nu c en d de waarden zijn die je wil weten.

Je werkwijze is goed: de bekende gegevens vul je in in de formule:

In het eerste geval levert dat:





en in het alternatieve geval met grondtal 10:





Lukt het nu om (1 van) deze stelsels op te lossen?

[genius]

Wordt nu toch wel een beetje lastig met mijn wiskunde A, kom er niet echt uit. Ik ben nog nooit tegengekomen dat er 2 onbekenden zijn in een op te lossen formule. Heb met wat hulp het volgende bedacht:

1/80 log ((15/80)/c) = d

Maar betwijfel of dit goed is en begrijp het eigenlijk ook niet helemaal.

[arno]

Neem in de formules die arie gaf eens links en rechts de logaritme. je krijgt dan 2 uitdrukkingen van de vorm c = ... waarmee je c en d kunt berekenen.

[SafeX]

Je neemt het tweede stelsel?

Deel beide verg op elkaar, welke onbekende ben je dan kwijt ... ?

[arie]

nog een manier:



dus



vervang c in de tweede formule door bovenstaande:



wordt dan

[genius]

Bedankt voor alle antwoorden. Ik heb eerste de methode van Safex geprobeerd:

10^d - 1,50
---------------
10^80d - 0,187

Liep toen vast, heb het volgende geprobeerd maar geloof niet dat het ergens op slaat:

10^d = 1,50
d = log(1,50) / log (10) = 0,176

Vervolgens zag ik het antwoord van Arie, kwam mij bekender voor (substitutie methode?)

1,50/10^d * 10^d*80 = 15/80

Ik begrijp dat je op deze manier d kunt bereken en kan vervololgens ook met d de c berekenen, maar het is mij niet gelukt de formule te herleiden en zo d te berekenen.

[arie]

Klopt: je substitueert c.
Dit levert zoals je al gevonden had:



deel links en rechts door 1.50 en je houdt over:



Nu heb je links een vorm



Kan je dit herleiden naar 1 enkele macht van 10:



Kijk zo nodig eens hoe dat gaat met bijvoorbeeld

[SafeX]

Bedankt voor alle antwoorden. Ik heb eerste de methode van Safex geprobeerd:

10^d - 1,50
---------------
10^80d - 0,187

Wat doe je hier ... , dit is zelfs geen verg meer.

Je deelt de linkerleden en de rechterleden. Nog nooit eerder gezien?

[genius]

Bedankt voor alle antwoorden. Ik heb eerste de methode van Safex geprobeerd:

10^d - 1,50
---------------
10^80d - 0,187

Wat doe je hier ... , dit is zelfs geen verg meer.

Je deelt de linkerleden en de rechterleden. Nog nooit eerder gezien?

Ik heb eerst beide formules gelijk gesteld aan 0 zodat, in toen in zijn geheel door elkaar gedeeld en c weggestreept. Maar zoals daar staat heb ik inderdaad wel eens gezien, was ik zelf alleen niet opgekomen.

Maar ik heb volgens mij wel de oplossing gevonden:

10^(79d) = 0,125
(10^79)^d = 0,125

d = (log(0,125)/log(10^79)) = -0,0114

c = 1,50 / 10^(-0,0114) = 1,5398

PN = po * (1 + 1,5398 * 10^(-0,0114*po))

Als ik de oude prijs invul, komt daar inderdaad de door mij gegeven nieuwe prijs uit! Ik had die getallen even snel bedacht, maar het gaat me nu ook lukken met de getallen en marges die ik daadwerkelijk wil. Heel erg bedankt voor de hulp, en fijn dat ik het nu ook begrijp i.p.v. alleen de formule weet.

[SafeX]

Ik heb eerst beide formules gelijk gesteld aan 0 zodat, in toen in zijn geheel door elkaar gedeeld en c weggestreept. Maar zoals daar staat heb ik inderdaad wel eens gezien, was ik zelf alleen niet opgekomen.

Dat zou betekenen dat je rechts 0/0 krijgt, dus nog vreemder ...