paraboloïde uit cirkel

[barto]

Ik vertrek van een kartonnen cirkel en wil daaruit een paraboloïde maken door te knippen.

Als we een kegel willen maken kan je gewoon zo een groen stukje uit knippen en de blauwe randen aan elkaar plakken:


maar nu moeten de lijntjes dus wat gebogen zijn. zeg maar dat het groene gedeelte concaaf moet worden, zodat er in het midden in verhouding minder weg gaat als aan de rand, en de rand dus omhoog komt te staan.

Om precies te weten wat voor vorm ik moet uitknippen moet ik beginnen met de lengte op de grafiek van een parabool, zeg , vanaf de oorsprong tot het punt te weten, noem dat . Dat moet met integralen denk ik, maar kan ik dus (nog) niet zelf.
Neem de inverse, . Als ik uit mijn cirkel een perfecte paraboloïde wil vouwen moet ik dus op afstand van het centrum een omtrek van behouden, en dus wegknippen.

het probleem is nu dat op de kniplijn opeens de lengte van de parabool in de doorsnede vergroot als ik er een paraboloïde van heb gevouwen. Dat valt deels op te lossen door op 4 plaatsen een deel uit te knippen zodat de afwijking verkleint, maar op oneindig veel plaatsen is ook weer moeilijk...


OF: bestaat er misschien een efficiëntere manier om een paraboloïde te vormen, zonder al te veel knipwerk?

[barto]

misschien zal ik mijn vraag concreter stellen: wat is de afstand van de oorsprong tot punt op de grafiek van ?

[wnvl]

http://nl.wikipedia.org/wiki/Booglengte

[op=op]

Ik snap helemaal geen sikkepit van het verhaal.
Je kunt niet een paraboloïde uit een blad papier knippen.
De Gausskromming voor een blad papier (en alles wat je ermee kunt maken) is 0 en voor een paraboloïde ongelijk aan 0.

[wnvl]

Misschien kan het raadsel van Barto als volgt aangepast worden.

Ik vertrek van een rubberen cirkel en wil daaruit een paraboloïde maken door te knippen en te trekken.
Welke figuur moet ik uit de circel knippen opdat er in de paraboloide geen spanning (veroorzaakt door de rek van het rubber) zou zijn in de richting rakend aan de cirkel doorsnede. Spanning in de richting rakend aan de parabooldoorsnede is onvermijdelijk.

[op=op]

Was ?????
Is nu ?????

[wnvl]

Is nu ?????

Als je uit een cirkel een stuk uitknipt en je gaat daaraantrekken, kan je toch een paraboloide vormen. Lijkt mij. Laat ons uitgaan van een materiaal dat op trek, druk en schuifspanningen belast kan worden. Ben je hier mee akkoord?

Mij lijkt het intuitief toch mogelijk om het materiaal dusdanig te verknippen dat de spanning in de richting rakend aan de cirkel doorsnede nul is. Hier ga ik wel af op mijn gevoel en hoe je dit berekent heb ik niet onmiddellijk een antwoord op.

[op=op]

Als je uit een cirkel een stuk uitknipt en je gaat daaraantrekken, kan je toch een paraboloide vormen. Lijkt mij. Laat ons uitgaan van een materiaal dat op trek, druk en schuifspanningen belast kan worden. Ben je hier mee akkoord?

Waarom zou je er een stuk uit knippen?
Gaat het hier om een homeomorfisme of een diffeomorfisme?

[wnvl]

Als je uit een cirkel een stuk uitknipt en je gaat daaraantrekken, kan je toch een paraboloide vormen. Lijkt mij. Laat ons uitgaan van een materiaal dat op trek, druk en schuifspanningen belast kan worden. Ben je hier mee akkoord?

Waarom zou je er een stuk uit knippen?

De uitdaging is het materiaal dusdanig te verknippen dat de spanning in de richting rakend aan en in het vlak van de de cirkel doorsnede nul is. Als dit mogelijk is (wat ik denk), gaat er zeker geknipt moeten worden in onze cirkel.

Als je de voorwaarde dat de spanning in de richting rakend aan en in het vlak van de de cirkel doorsnede nul is weglaat, moet er misschien niet geknipt worden.

Ik denk (nadruk op "denk") dat er een diffeomorfisme moet bestaan dat de transformatie uit het eerste probleem beschrijft.

[wnvl]

Gaat het hier om een homeomorfisme of een diffeomorfisme?

Als je voor praktische problemen een materiaal gaat vervormen van iets plat naar iets "verbogen", denk ik eigenlijk dat het er niet toe doet of het om een diffeomorfisme gaat of niet, zolang de rek maar binnen bepaalde grenzen blijft en de afbeelding homeomorf is.

[wnvl]

Hier een tekening om het probleem te verduidelijken.

Rek in richting A is NIET toegestaan in richting B wel.

[wnvl]

Heb intussen eindelijk ingezien dat dat knippen geen zin heeft Als je rek in de richting van de B vector toelaat is de transformatie uiteraard mogelijk.