Slagingskans lootjes trekken 5 december

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
StRaLa
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 19 nov 2012, 15:32

Slagingskans lootjes trekken 5 december

Bericht door StRaLa » 19 nov 2012, 20:31

Ik heb de volgende situatie.

5 personen, even benoemd als persoon A,B,C,D,E. Voor de surprise moeten ze lootjes trekken. Op tafel liggen 5 enveloppen. Met daarin, A,B,C,D,E.. De personen mogen niet zichzelf trekken. Als dat gebeurt, gaan alle enveloppen weer dicht en terug op tafel. En beginnen ze opnieuw. Persoon A begint, dan B enz...

Nu is mijn vraag, hoe groot is de kans (in percentage) dat niet iemand zichzelf trekt? Oftewel hoe groot is de kans dat na dat iedereen een envelop heeft getrokken, er niet iemand met een envelop met zijn eigen naam erop zit.

Als persoon A begint, is de kans dat hij zichzelf trekt is dan met nog 5 enveloppen, 20%.. Als A, dan B trekt. Is de kans voor B, 0% geworden, maar voor C,D,E is de kans dat ze zichzelf trekken dan 25%... Dus genoeg variabelen.

Als ik ga rekenen, kom ik uit dat er 120 (5 x 4 x 3 x 2 x 1) mogelijkheden zijn. Dan zouden er (4 x 3 x 2 x 1 x 1) = 24 oplossingen zijn waarin iedereen iemand anders heeft, en dus niemand zichzelf. Dit zou neer komen op weer 20%.. 100% delen door 120 mogelijkheden x 24 = 20%..

Maar die 24 klopt volgens mij niet. Want als persoon A, dus persoon B trekt. En dan mag B trekken. Zijn er weer 4 enveloppen met niet zijn naam erop. Dat zou neer komen op 4 x 4 x 2 x 1 x 1 = 32.. Wat een percentage oplevert van 100% / 120 x 32 = 26,6%

Wie kan me helpen??

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Slagingskans lootjes trekken 5 december

Bericht door Sjoerd Job » 20 nov 2012, 06:47

Die 24 klopt inderdaad niet, zoals je zelf al zei.

Laten we het simpele geval A, B, C bekijken:

Er zijn maar twee mogelijkheden
BCA
CAB

Het geval A, B, C, D
BADC
BCDA
BDAC
CADB
CDAB
CDBA
DABC
DCAB
DCBA
In totaal 9 mogelijkheden

Het geval voor ABCDE weet ik wel, maar die mag je nog zelf opzoeken.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

addie
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 27 nov 2012, 08:11

Re: Slagingskans lootjes trekken 5 december

Bericht door addie » 27 nov 2012, 08:36

Oftewel hoe groot is de kans dat na dat iedereen een envelop heeft getrokken, er niet iemand met een envelop met zijn eigen naam erop zit.
"ADDIE"

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Slagingskans lootjes trekken 5 december

Bericht door wnvl » 27 nov 2012, 20:44

Bekijk dit topic eens.

viewtopic.php?f=28&t=5228

StRaLa
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 19 nov 2012, 15:32

Re: Slagingskans lootjes trekken 5 december

Bericht door StRaLa » 18 dec 2012, 11:23

Ik heb het uitgeschreven, maar zie door alle ABCDE'tjes niet meer of er nog meer mogelijkheden zijn, of dat ik er dubbel heb enz.. die formule's waar naar verwezen wordt. Snap ik helaas niet. Zou iemand mij het antwoord willen geven.

Klopt mijn gedachte dat er 120 mogelijkheden zijn?
En hoeveel van die mogelijkheden heeft iemand zich zelf, of hoeveel van de mogelijkheden heeft niet iemand zich zelf. Komt op het zelfde neer, dat weet ik. :wink:

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Slagingskans lootjes trekken 5 december

Bericht door arie » 25 dec 2012, 10:08

Een eenvoudiger beschrijving van het derangementprobleem vind je hier:
http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement
Een derangement is een permutatie waarbij geen enkel element op zijn oorspronkelijke plaats blijft.

Het aantal derangementen van n elementen wordt gegeven door
!n = (n-1)*(!(n-1)+!(n-2))
met !0=1 en !1=0
(zie onder "Counting derangements" op die wiki-pagina).

In jouw geval: n = aantal lootjes = aantal personen.
Het totaal aantal permutaties van n lootjes is n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
Voor n=5 vond je hierboven zelf al 5! = 5*4*3*2*1 = 120 mogelijke permutaties.
We zoeken nu nog !5 = het aantal permutaties waarbij geen enkel lootje bij dezelfde persoon blijft.

Uit !1 en !0 kunnen we met bovenstaande formule !2 (dus n=2) berekenen:
!2 = (2-1)*(!(2-1)+!(2-2)) = (2-1)*(!1+!0) = 1*(0+1) = 1
Klopt: er zijn 2 permutaties van AB: AB en BA, alleen in geval BA hebben we een derangement.

Uit !2 en !1 kunnen we met bovenstaande formule !3 (dus n=3) berekenen:
!3 = (3-1)*(!2+!1) = 2*(1+0) = 2
Dit aantal had Sjoerd-Job hierboven al gegeven.

Uit !3 en !2 kunnen we met bovenstaande formule !4 (dus n=4) berekenen:
!4 = (4-1)*(!3+!2) = 3*(2+1) = 9
Ook dit aantal had Sjoerd-Job hierboven al gegeven.

Kan je nu zelf !5 uit !4 en !3 berekenen?

Plaats reactie