statistische correctie

[hermanboonstra]

Hallo,de volgende vraag houdt mij bezig;
in een bedrijfsproces is bepaald dat er 20 kg stof A en 50 kg stof B ontstaan, over stof A is men zeker, over de berekening van stof B bestaan twijfels. De afvoer van het proces wordt gemeten en daarin zit 5 kg A en 10 kg B, waarbij bepaald is dat hiervoor een meetafwijking geldt van plus en min 1 kg ( bij 90% betrouwbaarheid). Ik wil nu de verhouding in de afvoer gebruiken om te bepalen hoeveel A en B er in het proces is ontstaan. Ik pas de verhouding in de afvoer toe op het proces:in de afvoer is dit B/A=10/5=2, omdat A in het proces zeker was stel ik dat in het proces de zelfde verhouding geldt en er dus 2*20=40 kg. Is dit het juiste antwoord of moet ik stellen dat ((10-1)/(5+1))*20< B < ((10+1)/(5-1)) dus 30 < B < 55 ? en weet ik dat er dus minimaal 30 kg B is ontstaan?
Of is het nog anders? Herman

[wnvl]

Het is nog anders, denk ik. Probleem is dat het quotiënt van 2 Gaussiaanse variabelen niet meer Gaussiaans is.

De sectie "Gaussian ratio distribution" in

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

geeft meer info over hoe deze verdeling er dan wel uitziet.

Als je ervanuit gaat dat A en B Gaussiaans verdeeld zijn, kan je uit het 90% confidentie interval berekenen en zo de resulterende distributie berekenen en het 90% confidentie interval van deze distributie.

[hermanboonstra]

wow, dat klinkt erg ingewikkeld, ik wil graag weten hoeveel van stof B er minimaal ontstaan is uitgaande van de waarden uit de afvoer en de meetfout daarin, of beter gezegd ik wil de minimale hoeveelheid weten waarvan ik kan zeggen dat die ontstaan is met een zekerheid van 90%. Uit de reactie begrijp ik een beetje dat wanneer een heel andere verdeling van toepassing is je mijn benadering niet kunt gebruiken?

Kun je wel stellen dat die benadering met rekening houden met de meetafwijking beter is dan gewoon maar 2*20=40 kg aan te houden?

Hoe bepaal ik een reeele waarde voor B als daar bijvoorbeeld een verontreinigingstarief aan hangt. Ik wil dan kunnen zeggen dat die heffing op basis van de minimale waarde met 90% zekerheid "verdedigd" kan worden. Wie kan een waarde voor B in dit voorbeeld bepalen, met evt eigen aannames toegevoegd? Zal die eerder groter of kleiner worden dan de 30 uit mijn "berekening"?

[wnvl]

Hoe bepaal ik een reeele waarde voor B als daar bijvoorbeeld een verontreinigingstarief aan hangt. Ik wil dan kunnen zeggen dat die heffing op basis van de minimale waarde met 90% zekerheid "verdedigd" kan worden. Wie kan een waarde voor B in dit voorbeeld bepalen, met evt eigen aannames toegevoegd? Zal die eerder groter of kleiner worden dan de 30 uit mijn "berekening"?

Je kan stellen dat jou benadering een onderschatting is van de ondergrens van het 90% confidentie interval.
De echte ondergrens van het 90% confidentie interval gaat groter zijn.



Een schatting voor is :

Het 90% interval correspondeert met z=1.65.

http://www.mathsisfun.com/data/standard ... table.html




analoog voor



Verder is en

Nu kan je de verdeling van de verhouding berekenen met de link uit mijn vorige post en daaruit het 90% interval afleiden.

Heb je ervaring met een wiskunde pakket voor numerieke berekeningen?
Dit kan je onmogelijk met de hand uitrekenen.

[hermanboonstra]

Hallo, bedankt voor de reactie ! Nee ik heb weinig ervaring met statistiek, ik heb uit mijn studie net genoeg meegekregen om te weten dat je als leek niet maar wat moet gaan zitten doen als je niet zeker bent. Dat blijkt al weer.

Bedoel je met onderschatting dat de ondergrens hoger is dan 30? Ergens tussen 30 en 40? Of juist lager dan 30?

Hoewel ik redelijk leek ben kan ik je uitleg aardig volgen. Ervaring met de paketten heb ik niet dus dat gaat me niet lukken. Is er wellicht nog een short-cut / alternatieve weg?

herman

[wnvl]

Bedoel je met onderschatting dat de ondergrens hoger is dan 30? Ergens tussen 30 en 40? Of juist lager dan 30?

Hoger dan 30.

Misschien bestaat er een short cut / vuistregel die je zou kunnen gebruiken, maar ik ken hem niet. En vind ook niet onmiddellijk iets op google.

Iemand anders op het forum misschien?

Ik wil wel eens een poging doen om het probleem op te lossen met Matematica. Zal er morgen naar kijken.

[wnvl]

Als ik de formules uit http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution definieer in matematica

Code: Selecteer alles

mua = 5;
mub = 10;
sigmaa = 0.6;
sigmab = 0.6;
a[z_] = (z^2/(sigmaa^2) + 1/(sigmab^2))^0.5;
b[z_] = mua*z/(sigmaa^2) + mub/(sigmaa^2);
c[z_] = Exp[(b[z]^2/a[z]^2 - (mua^2)/(sigmaa^2) - (mub^2)/(sigmab^2))/
    2];
phi[z_] = Integrate[Exp[-u^2/2]/(2*Pi)^0.5, {u, -Infinity, z}];
pz[z_] = b[z]*
    c[z]*(2*phi[b[z]/a[z]] - 1)/(a[z]^3*(2*Pi)^0.5*sigmaa*sigmab) + 
   Exp[(-(mua^2)/(sigmaa^2) - (mub^2)/(sigmab^2))/2]/(a[z]^2*Pi*
      sigmaa*sigmab);

en de verdeling van A/B plot

Code: Selecteer alles

Plot[{pz[z]}, {z, 0, 1}]

dan krijg ik volgende grafiek



90% interval moet dus geschat [0.4;0.65] zijn.

Kijk best eens na of ik geen fouten gemaakt heb.

[hermanboonstra]

Hoi, dit zou ik zelf nooit kunnen! , maar hoe interpreteer ik dit vervolgens naar de onder-waarde voor de gezochte B ? hoe schat ik nu de B uit de productie?

[wnvl]

Zo ziet de verdeling van B eruit.

Code: Selecteer alles

mua = 10;
mub = 5;
sigmaa = 0.6;
sigmab = 0.6;
a[z_] = (z^2/(sigmaa^2) + 1/(sigmab^2))^0.5;
b[z_] = mua*z/(sigmaa^2) + mub/(sigmaa^2);
c[z_] = Exp[(b[z]^2/a[z]^2 - (mua^2)/(sigmaa^2) - (mub^2)/(sigmab^2))/
    2];
phi[z_] = Integrate[Exp[-u^2/2]/(2*Pi)^0.5, {u, -Infinity, z}];
pz[z_] = b[z]*
    c[z]*(2*phi[b[z]/a[z]] - 1)/(a[z]^3*(2*Pi)^0.5*sigmaa*sigmab) + 
   Exp[(-(mua^2)/(sigmaa^2) - (mub^2)/(sigmab^2))/2]/(a[z]^2*Pi*
      sigmaa*sigmab);

Plot[{pz[z/20]}, {z, 20, 60}]

dus 90% confidentie tussen 31.5 en 50 voor B op het zicht?

[hermanboonstra]

geweldig,dat klopt ook met je eerdere voorspelling dat ie groter dan 30 zou zijn ! Top!
reuze bedankt, geeft mij weer een hoop extra inzicht.
herman