2e graads vergelijking?

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
Adon
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 23 mar 2020, 09:37

2e graads vergelijking?

Bericht door Adon » 23 mar 2020, 09:46

Goede morgen,
ik ben 68 en mijn kennis van wiskunde (vroeger op VWO niveau) is behoorlijk weggezakt.
Ik wil een (2e graads?) vergelijking kunnen opstellen uit een reeks getallen.
Ik heb het aantal besmette personen met het corona virus per dag in een tabel gezet en grafisch weergegeven en ik zie een exponentieel verband tussen deze getallen. Is er een tool, progje of een methode om uit deze getallen een vergelijking op te stellen?
Eigenlijk dus het omgekeerde wat meestal het geval is: je hebt een vergelijking en je moet daarvan een grafiek maken.
Onder het motto: domme vragen bestaan niet hierbij dus mijn vraag.
Ben benieuwd naar reacties,
mvrg Adon

De getallen:
1 10
2 18
3 24
4 38
5 82
6 128
7 188
8 265
9 321
10 387
11 503
12 614
13 804
14 959
15 1135
16 1431
17 1705
18 2051
19 2460
20 2994
21 3631
22 4204

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3476
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 2e graads vergelijking?

Bericht door arie » 23 mar 2020, 11:12

Een exponentieel verband tussen y en x wordt gegeven door:

\(y= c \cdot e^{a\cdot x}\)

met a en c de constanten die je zoekt.
Neem aan beide kanten de natuurlijke logaritme:

\(\ln(y) = \ln(c \cdot e^{a\cdot x})\)

eigenschap logaritme: ln(a*b) = ln(a) + ln(b):

\(\ln(y) = \ln(c) + \ln(e^{a\cdot x})\)

eigenschap logaritme: ln(\(e^a\)) = a:

\(\ln(y) = \ln(c) + a\cdot x\)

noem ln(c) = b, dan krijgen we:

\(\ln(y) = a\cdot x + b\)

en dit laatste (a*x + b) is de algemene vergelijking van een lijn.
We kennen een aantal waarden van x en de bijbehorende waarde van y (dus ook van ln(y)),
en zoeken nu de waarden van de constanten a en b.
Dit kan met lineaire regressie, zie bijvoorbeeld:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Regressie ... _regressie
Hiermee kan je kortweg gezegd de lijn vinden die het beste langs (= het dichtste bij) alle punten loopt.

Deze methode zit doorgaans verwerkt in de meeste statistische programma's, bijvoorbeeld in Excel:
In Excel levert voor een gegeven aantal punten (x, y):
SLOPE(y-waarden, x-waarden) de helling = bovenstaande constante a
INTERCEPT(y-waarden, x-waarden) de y-waarde voor x=0 (="het snijpunt met de y-as"), dit is de constante b
(dit met de Engelse variant van Excel).

Als ik de gegevens vanaf dag 8 invoer (dan zijn de aantallen boven de 200, en kunnen we redelijke statistieken verwachten), dan krijg ik dit:

Afbeelding

In kolom D staan de benaderde waarden voor ln(y) = slope * x + intercept:
=$C$18*A2+$C$19
In kolom E de waarden van y volgens dit model.

Hiermee komen we dus uit op:

\(y = e^{0.2000\cdot x + 4.0149} = 55.42 \cdot e^{0.2000\cdot x}\)


PS:
Dit is dus een exponentieel verband.
Een tweedegraads verband wordt gegeven door y = ax^2 + bx + c, de grafiek hiervan is een parabool.


PPS:
Ik hoop dat bovenstaande voldoende duidelijk / weer herkenbaar is.
Maar mocht je meer vragen hebben: altijd welkom.

Adon
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 23 mar 2020, 09:37

Re: 2e graads vergelijking?

Bericht door Adon » 23 mar 2020, 13:00

Dank voor je uitgebreid antwoord, hier ga ik mee aan de gang om de weggezakte kennis weer op te halen.
Groet, Adon

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3476
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 2e graads vergelijking?

Bericht door arie » 23 mar 2020, 14:20

Aanvulling:
Voor de verdubbelingstijd geldt:
Als het aantal besmettingen y2 op dag x2 precies 2 keer zo groot is als het aantal besmettingen y1 op dag x1, dan is

\(y_2 = 2\cdot y_1\)

\(c\cdot e^{ax_2} = 2\cdot c \cdot e^{ax_1}\)

\(e^{ax_2} = 2\cdot e^{ax_1}\)

\(\frac{e^{ax_2}}{e^{ax_1}} = 2\)

\(e^{ax_2-ax_1} = 2\)

\(ax_2-ax_1 = \ln(2)\)

\(a(x_2-x_1) = \ln(2)\)

\(x_2-x_1 = \frac{\ln(2)}{a} = \frac{\ln(2)}{0.2000} = 3.4657\)

Dus elke 3.5 dagen verdubbelt het aantal besmettingen.
Dit betekent elke week een verviervoudiging van het aantal besmettingen.
Als de ziekenhuis-IC's nu half vol liggen, liggen ze over 3.5 dagen helemaal vol, en hebben we over 7 dagen 2 keer de huidige IC-capaciteit nodig.
Vandaar de haast om het aantal besmettingen af te remmen.
Helaas zien we met deze getallen nog niet veel effect van de maatregelen (dag 19 t/m 22 zitten we wel iets onder het model van exponentiele groei, maar die afbuiging is nog niet erg indrukwekkend).

Plaats reactie