Oppervlakte exact berekenen2

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
AnnekeK
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 30 mar 2020, 18:55

Oppervlakte exact berekenen2

Bericht door AnnekeK » 30 mar 2020, 20:13

Hoi iedereen,

Ik heb een paar wiskundevragen in de hoop dat jullie mij kunnen helpen:
1: Over het maken van een scheef vierkant met de exacte oppervlakte 10cm2.
Nu heb ik een ruit getekend, maar geld dit wel als vierkant, daar de hoeken niet gelijk zijn?

2: ik heb een vierkant met een klein vierkant oppervlakte 20, en een vierkant met oppervlakte 30, samen zitten ze in een groter vierkant. Ik moet de exacte oppervlakte berekenen. Is dat dan (v20+v30)^2?

3. Als ik 2v12 wil herleiden kom ik uit op 2v3, maar ik krijg 2v3 als antwoord...waarom kan ik dit niet verder herleiden?

4. 4v20 = 4v10 * 2 = 6v10, maar ik krijg dat zou 8v5 moeten zijn... :?

Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen :D :oops:

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1896
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Oppervlakte exact berekenen

Bericht door arno » 31 mar 2020, 08:20

Bij 1: denk eens aan de stelling van Pythagoras. De oppervlakte van het gevraagde vierkant is 10 cm², dus de lengte van het vierkant is dan √10 cm. Nu geldt dat 10 = 1²+3², dus je moet uitgaan van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 1 cm en 3 cm. Teken eens een vierkant met zijden van 4 cm. Deel nu iedere zijde op in een stuk van 1 cm en een stuk van 3 cm en kijk eens of je zo in dat vierkant een vierkant kunt tekenen, waarvan de zijde √10 cm lang is,
Bij 2: hoe liggen de gegeven vierkanten ten opzichte van elkaar in het grote vierkant? Zonder een bijbehorend plaatje is dit verder niet te beantwoorden.
Bij 3: bedenk dat , dus 2√12 = ...
Bij 4: bedenk dat , dus 4√20 = ...
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3417
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Oppervlakte exact berekenen2

Bericht door arie » 31 mar 2020, 08:44

AnnekeK schreef: 1: Over het maken van een scheef vierkant met de exacte oppervlakte 10cm2.
Nu heb ik een ruit getekend, maar geld dit wel als vierkant, daar de hoeken niet gelijk zijn?
Een vierkant heeft altijd 4 gelijke zijden EN 4 rechte hoeken.
Een ruit heeft altijd 4 gelijke zijden.
Een vierkant is een ruit, maar een ruit is geen vierkant.
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Vierhoek voor de definitie van verschillende vierhoeken)

Bedoelen ze met een "scheef vierkant" wellicht een vierkant onder een bepaalde hoek getekend?
Zoals in dit plaatje:

Afbeelding

Van een vierkant met oppervlak 10 hebben de zijden lengte \(\sqrt{10}\)
Deze lengte is dan gelijk aan zijde c van de blauwe driehoek.
Om dat vierkant te tekenen, kan je zijden a en b handig kiezen:
Kan je 2 gehele getallen a en b vinden, zodanig dat
\(a^2 + b^2 = c^2\)
ofwel
\(a^2 + b^2 = \left(\sqrt{10}\right)^2\)
ofwel
\(a^2 + b^2 = 10\)
Daarmee (= met die a en b) wordt het dan eenvoudig om het gevraagde vierkant in een rooster te tekenen.

AnnekeK schreef: 2: ik heb een vierkant met een klein vierkant oppervlakte 20, en een vierkant met oppervlakte 30, samen zitten ze in een groter vierkant. Ik moet de exacte oppervlakte berekenen. Is dat dan (v20+v30)^2?
Dit klopt, als je plaatje er zoiets uit ziet:

Afbeelding

Van het vierkant met oppervlak 20 (geel) heeft de zijde lengte \(\sqrt{20}\)
Van het vierkant met oppervlak 30 (groen) heeft de zijde lengte \(\sqrt{30}\)
En geplaatst zoals in deze figuur passen ze precies in het rode vierkant, waarvan de zijde lengte \(\sqrt{20}+\sqrt{30}\)
Het oppervlak van het rode vierkant is dus \(\left(\sqrt{20}+\sqrt{30} \right)^2\)

AnnekeK schreef: 3. Als ik 2v12 wil herleiden kom ik uit op 2v3, maar ik krijg 2v3 als antwoord...waarom kan ik dit niet verder herleiden?
\(2 \times \sqrt{12} = 2 \times \sqrt{4 \times 3}= 2 \times \sqrt{2^2 \times 3}= 2 \times \sqrt{2^2} \times \sqrt{3}= 2\times 2 \times \sqrt{3}= 4 \times \sqrt{3}\)
In \(\sqrt{3}\) zit geen kwadraat meer, waardoor deze wortel niet verder te vereenvoudigen is.

AnnekeK schreef: 4. 4v20 = 4v10 * 2 = 6v10, maar ik krijg dat zou 8v5 moeten zijn...
\(4 \times \sqrt{20} = 4 \times \sqrt{4 \times 5}= ...\)
Wat krijg je als je nu net zo doorgaat als bij je vraag 3 hierboven?

AnnekeK
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 30 mar 2020, 18:55

Re: Oppervlakte exact berekenen2

Bericht door AnnekeK » 01 apr 2020, 18:20

Ha top, heel erg bedankt!
Ja die vierkanten kloppen inderdaad, iets andere positie maar het idee is hetzelfde, thx!

Dan heb ik het eerste vierkant toch goed getekend...dankjewel!

Als ik die laatste zou doen zoals die daarboven:

4v20 = 4v10 * 2 = 4 x v2^2 x 5 = 4 x 2^2 x v5 = 4 x 2 x v5 = 8 x v5?

Thx voor de moeite!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3417
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Oppervlakte exact berekenen2

Bericht door arie » 01 apr 2020, 19:45

AnnekeK schreef: 4v20 = 4v10 * 2 = 4 x v2^2 x 5 = 4 x v2^2 x v5 = 4 x 2 x v5 = 8 x v5?
Klopt (die rode wortel moest er nog wel in, maar dat was waarschijnlijk een typefoutje, alles ervoor en erna is prima).
Voor alle duidelijkheid in latex-notatie:

\(4 \times \sqrt{20} = 4 \times \sqrt{4 \times 5}= 4 \times \sqrt{2^2 \times 5}= 4 \times \sqrt{2^2} \times \sqrt{5}= 4\times 2 \times \sqrt{5}= 8 \times \sqrt{5}\)

Je zoekt dus steeds in het getal onder het wortelteken (hier 20) het grootst mogelijke kwadraat (hier 4 = 2^2), en dat splits je af.

AnnekeK
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 30 mar 2020, 18:55

Re: Oppervlakte exact berekenen2

Bericht door AnnekeK » 07 apr 2020, 08:08

Yes, bedankt allebei! Kwam nu een stuk verder! :D

Plaats reactie