projectielbaan

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
vered
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 06 sep 2020, 10:35

projectielbaan

Bericht door vered » 06 sep 2020, 11:31

Hallo iedereen,

Opgave en oplossing in bijlage

Bij een oefening i.v.m. projectielbaan zit ik vast bij deze laatste bewering:
p = 0,09896 geeft tanα = 0,3145
p = 10,10512 geeft tanα = 3,1789
Men heeft vooraf tana=p gezet dan denk ik dat :
tanα = 0,09896 en
tanα = 10,10512 moeten zijn.
Heeft dat iets met radialen en/of graden te maken of....??
Met dank, eddyv

vered
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 06 sep 2020, 10:35

Re: projectielbaan

Bericht door vered » 06 sep 2020, 11:53

Excuses, mijn bijlage zit er precies niet bij. Dus hieronder de tekst !
Neem voor alle opgaven aan dat g = 9,8 m/s2

1. Een scherpschutter wil een blikje raken dat zich op 200 meter afstand van hem bevindt. Neem aan dat het blikje op dezelfde hoogte als het eind van de loop staat. Het geweer schiet de kogel weg met een snelheid van 100 m/s.
Onder welke hoek α moet de schutter zijn geweer houden om het blikje precies te raken?

oplossing:
1. Neem het vertrekpunt van de kogel als oorsprong.
g/(2v²) = 0,00049
De parabool is dan y = x• tanα - x2 • 0,00049(tan2α + 1)
De parabool moet ook door (200, 0) gaan.
0 = 200tanα - 19,6(tan2α + 1)
Noem tanα = p
200p - 19,6p2 - 19,6 = 0
-19,6p2 + 200p - 19,6 = 0
ABC formule geeft dan p = 0,09896 ∨ p = 10,10512
p = 0,09896 geeft tanα = 0,3145 en α = 17,5º
p = 10,10512 geeft tanα = 3,1789 en α = 72,5º

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: projectielbaan

Bericht door arie » 06 sep 2020, 16:33

vered schreef:
06 sep 2020, 11:31
.. Men heeft vooraf tana=p gezet dan denk ik dat :
tanα = 0,09896 of tanα = 10,10512 ...
Jouw uitwerking klopt.
In het antwoordmodel nemen ze \(\tan \alpha = \sqrt{p}\) maar dat niet juist.

Voor de hoek alfa kom ik uit op:
\(\tan \alpha = 0,09896 \Rightarrow \alpha = 5.65157336^\circ\)
of
\(\tan \alpha = 10,10512 \Rightarrow \alpha = 84.34842663^\circ\)

vered
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 06 sep 2020, 10:35

Re: projectielbaan

Bericht door vered » 06 sep 2020, 17:02

Hallo Arie, iedereen,
Tja, op een verband tussen wortel p en tan was ikzelf nooit gekomen. Alvast bedankt !!!
Ik heb wel tijdens mijn zoektocht gezien dat p1*tan2=tan1 en p2*tan1=tan2
(p1=.09896, tan2=3.1789 en p2=10.10512 met tan1=.3145).
Welke eigenschap is dat? Heeft dat te maken dat tan1+tan2=90° ?
Nogmaals bedankt. eddyv

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: projectielbaan

Bericht door arie » 06 sep 2020, 21:01

We hadden:
\(19.6p^2 - 200p +19.6 = 0\)
ofwel (deel alles door 19.6):
\(p^2 - \frac{200}{19.6}p +1 = 0\)
definieer nu (voor het gemak, scheelt schrijfwerk): \(t = \frac{100}{19.6}\), dan kunnen we dit ook noteren als:
\(p^2 - 2t\cdot p +1 = 0\)
dus
\(p_1 = \frac{2t-\sqrt{4t^2-4}}{2} = t - \sqrt{t^2-1}\)
en
\(p_2 = \frac{2t+\sqrt{4t^2-4}}{2} = t + \sqrt{t^2-1}\)

In het foute antwoord hadden ze hiervan de wortels genomen, noem
\(w_1 = \sqrt{p_1} = \sqrt{ t - \sqrt{t^2-1}}\)
en
\(w_2 = \sqrt{p_2} = \sqrt{ t + \sqrt{t^2-1}}\)

Nu wil je bewijzen:
\(p_1\cdot w_2 = w_1\)
ofwel (vermenigvuldig links en rechts met w1):
\(p_1\cdot w_2 \cdot w_1 = w_1 \cdot w_1\)

Eerst werken we het rechter lid uit:
\(w_1 \cdot w_1 = (w_1)^2 = p_1\)

en dan het linker lid:
\(p_1\cdot w_2 \cdot w_1 = p_1 \cdot \sqrt{ t + \sqrt{t^2-1}} \cdot \sqrt{ t - \sqrt{t^2-1}}\)
breng de laatste 2 factoren onder 1 wortelteken:
\(= p_1 \cdot \sqrt{ \left(t + \sqrt{t^2-1}\right) \cdot \left( t - \sqrt{t^2-1}\right)}\)
volgens het merkwaardig product \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
\(= p_1 \cdot \sqrt{ t^2 - \left(\sqrt{t^2-1}\right)^2 }\)
\(= p_1 \cdot \sqrt{ t^2 - (t^2-1) } = p_1 \cdot \sqrt{1} = p_1\)
wat we moesten aantonen: het linker lid = het rechter lid.

Evenzo voor
\(p_2\cdot w_1 = w_2\)

Noot: doordat we hier alleen met positieve getallen werken hebben we geen problemen met kwadrateren en worteltrekken: als x>0 dan is \(\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2 = x\)


Dan je tweede opmerking: \(\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ\):
De baanvergelijking levert:
\(y_t = -\frac{1}{2}g\cdot t^2 + (v \sin \alpha)\cdot t = (-\frac{1}{2}g\cdot t + v \sin \alpha)\cdot t \)

Dus y=0 als
\(t=0\) (bij het afvuren)
of als
\(-\frac{1}{2}g\cdot t + v \sin \alpha = 0\) (bij het neerkomen)
Dit laatste levert
\(t = \frac{2v \sin \alpha}{g}\)
waardoor de afstand bij het neerkomen gelijk is aan:
\(x = (v \cos \alpha)\cdot t = v \cos(\alpha) \cdot \frac{2v \sin \alpha}{g}\)
\(=\frac{v^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g} = \frac{v^2 \cdot \sin(2 \alpha)}{g} = \frac{10000}{9.8}\cdot \sin(2 \alpha)\)
Hierbij gebruiken we de gelijkheid \(\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\)

Dus als voor een gegeven doel op afstand x de hoek \(\alpha_1\) een oplossing is, dan is ook de hoek
\(\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1\) een oplossing.
Immers: de schietafstand bij \(\alpha_2\) is
\(x_{\alpha 2} =\frac{10000}{9.8}\cdot \sin(2 \alpha_2) = \frac{10000}{9.8}\cdot \sin(2 (90^\circ-\alpha_1)) =\frac{10000}{9.8}\cdot \sin(180^\circ-2\alpha_1)=\frac{10000}{9.8}\cdot \sin(2\alpha_1) = x_{\alpha 1}\)
(hierbij gebruiken we \(\sin(180^\circ - \beta) = \sin(\beta)\))

vered
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 06 sep 2020, 10:35

Re: projectielbaan

Bericht door vered » 07 sep 2020, 10:25

Nogmaals hartelijk dank voor de uitgebreide uitleg. Het is me duidelijker nu !
grtz, eddyv

Plaats reactie