Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door Jokke » 29 nov 2013, 21:02

Beste vrienden,

Ik moet nogmaals jullie hulp inroepen.
Ik ben een reeks oefeningen aan het maken waarbij ik goniometrische bewerkingen moet vereenvoudigen of gelijkheden moet bewijzen.

Nu zit ik bij een deel van de oefeningen volledig vast. Ik denk dat ik een bepaalde volgorde van bewerkingen moet aanhouden zoals breuken vereenvoudigen, haakjes wegwerken, vermenigvuldigen enz om tot het gewenste resultaat te komen.

Een oefening waar ik onder andere moeite mee heb is de volgende:

Vereenvoudig
(tanA +1/tanA)(cosA -1/cosA)(sinA -1/sinA)

Zou iemand me op weg kunnen helpen

Alvast bedankt,
Jokke

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 29 nov 2013, 21:55

Jokke schreef: Vereenvoudig
(tanA +1/tanA)(cosA -1/cosA)(sinA -1/sinA)
Je weet hoe je producten uitwerkt?
Vermenigvuldig de eerste twee factoren;



Ook is mogelijk: vermenigvuldig de laatste twee factoren ...

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door Jokke » 01 dec 2013, 17:33

Ik heb geprobeerd de oefening zo ver mogelijk op te lossen maar ik ben er nog niet helemaal.
Ik vraag me vooral af of mijn werkwijze goed is.
Zoals je voorstelde heb ik de eerste twee termen vermenigvuldigd en het resultaat met de laatste term vermenigvuldigd.

Op het einde blijf ik nog met een paar breuken over die ik niet weggewerkt krijg.
Dit is wat ik er tot nu toe van gemaakt heb.

(tanA + 1/tanA) (cosA – 1/cosA) (sinA – 1/sinA)


De eerste twee termen met elkaar vermenigvuldigen:

tanA.cosA – tanA/cosA + cosA/tanA – 1/tangA.cosA


tangA vervangen door sinA/cosA:
sinA.cosA/cosA – sinA/cos²A + cos²A/sinA – cosA/sinA.cosA


Schrappen en vermenigvuldigen met (sinA - 1/sinA):

(sinA – sinA/cos²A + cos²A/ sinA – 1/sinA) (sinA - 1/sinA)

Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A


Schrappen:

Sin²A – 1 – sin²A/cos²A + 1/cos²A + cos²A – cos²A/sin²A + 1/sin²A


Groeperen:

Sin²A + cos²A – 1 – sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A

1 – 1 - sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A

Is dit eigenlijk een goede manier om zo’n oefening op te lossen?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door David » 04 dec 2013, 17:54

Jokke schreef:1 – 1 - sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
Ziet er goed uit, ook voor de methode. Dit kan je nog vereenvoudigen. Rangschik eventueel op noemers.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 04 dec 2013, 19:04

Jokke schreef:Is dit eigenlijk een goede manier om zo’n oefening op te lossen?
Deze opgave kan ook op snellere wijze ... , maar maak dit nu eerst af want je bent er bijna!

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door Jokke » 06 dec 2013, 16:34

Ik heb het gevonden denk ik:

1 - 1 - sin²A/cos²A - cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A

Groeperen:

1 - 1 - (sin²A - 1)/cos²A - (cos²A - 1)/sin²A


-(sin²A - 1) = cos²A en -(cos²A - 1) = sin²A -> hoofdwet goniometrie

Ingevuld geeft dit:

1 - 1 + 1 + 1 = 2

kan dit kloppen?

Je zei dat er een eenvoudigere methode is om een oefening als deze op te lossen. Bij de volgende oefeningen heb ik steeds cos²A of sin²A vervangen door 1 - sin²A of 1 - cos²A dit werkt makkelijker vind ik. Is dit een betere methode of is er nog een betere.

Zou iemand me ook even kunnen laten weten hoe ik deftige breuken kan typen want met die schuine streepjes oogt het erg onoverzichtelijk vind ik.

Bedankt

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 06 dec 2013, 17:03

Er moet 1 uitkomen ...

Een breuk met Latex:



Je kan dit bij beantwoording (quote), kopieren en aanpassen.

Eenvoudiger werkt de opgave door elke factor eerst als breuk te schrijven, bv:


SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 06 dec 2013, 17:11

Jokke schreef: Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A
Je bent de één-na-laatste term kwijtgeraakt ... , ga dat na!

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door Jokke » 09 dec 2013, 08:58

SafeX schreef:
Jokke schreef: Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A
Je bent de één-na-laatste term kwijtgeraakt ... , ga dat na!
Je hebt gelijk in ben een - sinA/sinA vergeten.
De 2 die ik uitkom moet dus nog met 1 verminder worden en wordt dus 1.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 09 dec 2013, 10:59

Ok, en nu de snellere methode ... ???

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door Jokke » 09 dec 2013, 13:02

Ik zie het niet :(

je bedoelt:

((tan²A + 1)/tang )((cos²A - 1)/cosA)((sin²A - 1)/sinA)

En dit dan verder uitwerken.

Je kan wel verder door bv:

((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)

te schrijven. Maar verder raak ik niet.
Zou je nog een tip kunnen geven?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 09 dec 2013, 13:56

Jokke schreef: ((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)


Als je in de eerste breuk teller en noemer met cos^2(alpha) vermenigvuldigt ... kan je alles vereenvoudigen

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door Jokke » 09 dec 2013, 14:49

SafeX schreef:
Jokke schreef: ((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)


Als je in de eerste breuk teller en noemer met cos^2(alpha) vermenigvuldigt ... kan je alles vereenvoudigen
Gevonden :D

cos²A/cos²A ((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)

cos²A/cos²A met eerste term vermenigvuldigen en laatste termen met elkaar vermenigvuldigen

((sin²A + cos²A)/cosA.sinAC) . (sin²A.cos²A)/cosA.sinA

(1/cosA.sinA).(cosA.sinA) = 1

Dit is inderdaad een veel eenvoudiger methoder maar hoe zie je dit? denk je direct bij tang²A aan vermeigvuldigen met cos²A om de noemer weg te werken of is het iets anders? ik zou er alleen niet opgekomen zijn.

Bedankt

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen

Bericht door SafeX » 09 dec 2013, 16:08

Jokke schreef:Dit is inderdaad een veel eenvoudiger methode maar hoe zie je dit? denk je direct bij tang²A aan vermenigvuldigen met cos²A om de noemer weg te werken of is het iets anders? ik zou er alleen niet opgekomen zijn.
Prima!
denk je direct bij tang²A aan vermenigvuldigen met cos²A om de noemer weg te werken
Dat is inderdaad de reden om de breuk enkelvoudig te maken.

Succes verder.

Plaats reactie