Limiet van exp- en logfuncties

Eddy · Bericht door **Eddy** » 05 mar 2014, 16:44

Bepaal aan de hand van het standaardlimiet $\lim_{u \to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$ het volgende limiet:
$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x}$

Hoe pak ik dat aan?

Bericht door **SafeX** » 05 mar 2014, 17:18

Vind je het niet logisch om u=x^2 te stellen ... , wat voor limiet (met u!) krijg je dan?

Eddy · Bericht door **Eddy** » 05 mar 2014, 17:34

SafeX schreef:Vind je het niet logisch om u=x^2 te stellen ... , wat voor limiet (met u!) krijg je dan?

Okay met behulp van substitutie dus

.

Dan krijg ik:

Stel y = x^2
$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{\pm \sqrt{y}} = \lim_{y \to 0} \pm \sqrt{y} \cdot \frac{\ln(1+y)}{y} = \sqrt{0} \cdot 1 = 0$

Bericht door **SafeX** » 05 mar 2014, 17:37

Mooi!

Vind je dit een 'acceptabele' uitkomst? Maw had je dit verwacht ...

Eddy · Bericht door **Eddy** » 05 mar 2014, 18:24

SafeX schreef:Mooi!

Vind je dit een 'acceptabele' uitkomst? Maw had je dit verwacht ...

Ja, want een limietwaarde van 0 komt overeen met mijn tekening.

Klopt die +/- in de tussenstappen ook?

Bericht door **SafeX** » 05 mar 2014, 18:40

Eddy schreef: Klopt die +/- in de tussenstappen ook?

Waarom die vraag?
Eigenlijk moet je de limiet splitsen in x>0 en x<0 ...

Eddy · Bericht door **Eddy** » 05 mar 2014, 18:51

SafeX schreef:
Eddy schreef: Klopt die +/- in de tussenstappen ook?

Omdat een limiet niet twee uitkomsten kan hebben.

SafeX schreef: Eigenlijk moet je de limiet splitsen in x>0 en x<0 ...

Als eerste stap? En dan de limiet van boven en van onder apart evalueren?

Bericht door **SafeX** » 05 mar 2014, 18:54

Eddy schreef: En dan de limiet van boven en van onder apart evalueren?

Precies!

Eddy · Bericht door **Eddy** » 05 mar 2014, 19:20

SafeX schreef:
Eddy schreef: En dan de limiet van boven en van onder apart evalueren?
Precies!

En dat splitsen moet ik in principe bij ieder limiet probleem doen? Dus bijv. wanneer x->a dan splits ik in x < a en x > a.

Bericht door **SafeX** » 05 mar 2014, 19:31

Nee, dat is niet altijd nodig!

Ga het volgende na:

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\cdot x=0$

Eddy · Bericht door **Eddy** » 05 mar 2014, 21:51

SafeX schreef:Nee, dat is niet altijd nodig!

Zijn er simpele voorwaarden om te bepalen of dat wel of niet moet? Mijn boek gaat daar in ieder geval niet op in.

Ik dacht het volgende: wanneer een functie f(x) continue is over het domein van f(x) het boven- en onderlimiet gelijk zijn en het limiet dus bestaat.

SafeX schreef: Ga het volgende na:

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\cdot x=0$

Bovenstaande limiet is inderdaad 0 want het is mijn limiet vermenigvuldigd met x/x.

Bericht door **SafeX** » 05 mar 2014, 23:13

Eddy schreef:
SafeX schreef:Nee, dat is niet altijd nodig!
Zijn er simpele voorwaarden om te bepalen of dat wel of niet moet?

Je doet het als het nodig is, zoals in jouw vb ...

Welke notatie prefereer je nu?

Eddy · Bericht door **Eddy** » 06 mar 2014, 21:53

SafeX schreef: Welke notatie prefereer je nu?

Wij hebben het niet over notatie gehad toch?

SafeX schreef: Je doet het als het nodig is, zoals in jouw vb ...

OK! Eens kijken of ik het goed begrijp aan de hand van een andere opgave:
$\lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x} ( \log_{3}|x|)$ als ik nu y = 1/x substitueer krijg ik:
$\lim_{x \downarrow 0} \sqrt[3]{x} (\log_{3}|x| ) = \lim_{y \to +\infty} \sqrt[3]{\frac{1}{y}} (\log_{3} |\frac{1}{y}| )$
en
$\lim_{x \uparrow 0} \sqrt[3]{x} (\log_{3}|x| ) = \lim_{y \to -\infty} \sqrt[3]{-\frac{1}{y}} (\log_{3} |-\frac{1}{y}| )$

Is dit alles nu juist?

Bericht door **SafeX** » 06 mar 2014, 21:57

Naar welke standaardlimiet wil je toewerken ...

Eddy · Bericht door **Eddy** » 06 mar 2014, 22:14

SafeX schreef:Naar welke standaardlimiet wil je toewerken ...

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\log_a x}{x^q} \text{ als } q > 0$

Wiskundeforum

Limiet van exp- en logfuncties

Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties

Re: Limiet van exp- en logfuncties