Wiskundeforum

Hallo allemaal,

Ik ben bezig door het boek van Craats heen te werken en loop bij onder andere 5.33e tegen niet zozeer een probleem maar wel een vraagstuk aan.

De opgave van 5.33e is om het volgende te ontbinden in factoren: $a^{9}b - 256ab^{9}$

Het antwoord dat mij het meest praktische lijkt is $ab(a^{4}+16b^{4})(a^{4}-16b^{4})$

Het boek komt echter met het antwoord $ab(a^{4}+16b^{4})(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$

Beide antwoorden zijn correct, tenzij ik iets over het hoofd zie? Waarom verkiest men het tweede antwoord boven de eerste?

Thanks!

De bedoeling is altijd om zo ver mogelijk in factoren te ontbinden.

Als je b.v. $abcd+abc$ moet ontbinden, dan zou dat op heel veel manieren kunnen, b.v.
$a(bcd+bc)$ , maar er is maar één manier om het maximaal te ontbinden ( $abc(d+1)$ ).

Ik snap dat er inderdaad zoveel mogelijk buiten de haakjes moet worden geplaatst maar dat is mijn antwoord toch ook gebeurd? Het antwoord in het boek verschilt pas van de mijne bij de tweede $(a^{4}-16b^{4})$ wat in het boek genoteerd wordt als $(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$

Het resultaat is hetzelfde, maar waarom schrijft men het in langere vorm op? Ik vind het antwoord er persoonlijk in ieder geval niet duidelijker van worden.

Xyrr schreef:Ik snap dat er inderdaad zoveel mogelijk buiten de haakjes moet worden geplaatst maar dat is mijn antwoord toch ook gebeurd? Het antwoord in het boek verschilt pas van de mijne bij de tweede $(a^{4}-16b^{4})$ wat in het boek genoteerd wordt als $(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$

Het resultaat is hetzelfde, maar waarom schrijft men het in langere vorm op? Ik vind het antwoord er persoonlijk in ieder geval niet duidelijker van worden.

Zie je dan geen verschil in $(a^{4}-16b^{4})$ en $(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-b^{2})$ en $(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ ...

SafeX schreef:Zie je dan geen verschil in $(a^{4}-16b^{4})$ en $(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-b^{2})$ en $(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ ...

(Ja, $(a^{4}-16b^{4}) = (a^{2}+4b^{2})(a^{2}-4b^{2}) \ne (a^{2}+4b^{2})(a^{2}-b^{2})$ )

Je kan nog zeggen dat je in zoveel mogelijk factoren wilt ontbinden.

$a^{9}b - 256ab^{9}$ heeft een factor,

$ab(a^{4}+16b^{4})(a^{4}-16b^{4})$ heeft er drie

$ab(a^{4}+16b^{4})(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ heeft er zes

Dus kies je $ab(a^{4}+16b^{4})(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ als antwoord.
(Verder gaan met ontbinden verandert het domein van a of b en dat is niet wat je wilt).

David schreef:
SafeX schreef:Zie je dan geen verschil in $(a^{4}-16b^{4})$ en $(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-b^{2})$ en $(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ ...
(Ja, $(a^{4}-16b^{4}) = (a^{2}+4b^{2})(a^{2}-4b^{2}) \ne (a^{2}+4b^{2})(a^{2}-b^{2})$ )

Bedankt voor het aangeven van de fout ... , ik hoop dat de TS dit heeft doorzien.

Dus kies je $ab(a^{4}+16b^{4})(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ als antwoord.
(Verder gaan met ontbinden verandert het domein van a of b en dat is niet wat je wilt).

Wat bedoel je met de laatste opmerking ...

SafeX schreef:
David schreef:Dus kies je $ab(a^{4}+16b^{4})(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ als antwoord.
(Verder gaan met ontbinden verandert het domein van a of b en dat is niet wat je wilt).
Wat bedoel je met de laatste opmerking ...

Wat David volgens mij bedoelt is dat $a^{4}+16b^{4}$ en $a^{2}+4b^{2}$ wel in de vorm (p-q)(p+q) te ontbinden is als je complexe getallen toelaat.
@David: Merk op dat $a^{4}+16b^{4}=(a^2+4b^2)^2-8a^2b^2=(a^2-2ab\sqrt{2}+4b^2)(a^2+2ab\sqrt{2}+4b^2)$ . Merk verder op dat a²-2ab√2+4b² = (a-b√2)²+2b² en dat a²+2ab√2+4b² = (a+b√2)²+2b², wat dus als uiteindelijke ontbinding $ab(a^2-2ab\sqrt{2}+4b^2)(a^2+2ab\sqrt{2}+4b^2)(a^{2}+4b^{2})(a+2b)(a-2b)$ als antwoord oplevert. Zolang je als grondverzameling alleen reële getallen hebt is een verdere ontbinding van a²-2ab√2+4b² en a²+2ab√2+4b², en ook die van a²+4b², inderdaad niet mogelijk.

@arno

Als ik dat vraag aan iemand die reageert, dan ook graag antwoord van deze persoon ...

Houd ook rekening met de formules en vb die de TS op dit moment kent ...

Thanks voor de hulp en excuus voor de late reactie. Ik heb de fout inderdaad doorzien en genoegen genomen met het feit dat men zo ver mogelijk dient te ontbinden. Nogmaals bedankt

Mooi dat dit opgelost is.
Wat ik meer bedoelde is dat je a-b niet wilt ontbinden als $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ en nog verder maar dan mogen a of b niet negatief zijn.

arno schreef:Zolang je als grondverzameling alleen reële getallen hebt is een verdere ontbinding van a²-2ab√2+4b² en a²+2ab√2+4b², en ook die van a²+4b², inderdaad niet mogelijk.

Bedoel je 'gehele getallen' in plaats van 'reële getallen'?

David schreef:
arno schreef:Zolang je als grondverzameling alleen reële getallen hebt is een verdere ontbinding van a²-2ab√2+4b² en a²+2ab√2+4b², en ook die van a²+4b², inderdaad niet mogelijk.
Bedoel je 'gehele getallen' in plaats van 'reële getallen'?

Nee, ik bedoel echt reële getallen. Bedenk dat a²-2ab√2+4b² = (a-b√2)²+2b² en dat a²+2ab√2+4b² = (a+b√2)²+2b², dus dat dit binnen de grondverzameling van de reële getallen niet verder te ontbinden is.

Wiskundeforum

Notatie van ontbonden factoren

Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren

Re: Notatie van ontbonden factoren